2024-2025学年浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团八年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．x2+1＞x B．﹣y+1＞y C．＞1 D．5+4＞8
4．（3分）不等式2x﹣1＜3的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列命题中的真命题是（　　）
A．内错角相等 B．三角形内角和是180°
C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝1
6．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
7．（3分）如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，若∠A＝20°，则∠MDE的度数为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（3分）将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠2
9．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（　　）
A．6 B．9 C．11 D．12
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，直角∠EDF在△ABC内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法：①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF＜CD．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共30分。
11．（3分）用不等式表示“2a与3b的和是正数”　 　．
12．（3分）写出命题“对顶角相等”的逆命题　 　．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，斜边AB上的中线长为 　 　．
14．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是　 　．
15．（3分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，过点B作BF⊥AD，交AD于点F，若AF：EF＝2：1，△CDE的面积为a，则△ABC的面积为 　 　.（用含a的代数式表示）
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC于点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝1，BC＝6，则DG＝ 　 　，FG＝ 　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分。
17．（8分）解下列一元一次不等式：
（1）4+3x＞10；
（2）2x﹣1≤5x+2．
18．（8分）如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点D，使AD+CD最小．
19．（8分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．
20．（8分）证明命题：“全等三角形的对应角的平分线相等”是真命题．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D在BC上，将△ADC沿直线AD翻折，形成△ADC'．
（1）若AC′∥CD，求∠CAD的度数；
（2）若点C的对称点恰好落在AB上，求线段BD的长．
22．（10分）如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP．
（1）求证：△ADC≌△APB；
（2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度数．
23．（10分）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）如图1，若O为AB的中点，求证：直线OC是△ABC的等腰分割线．
（2）如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．
（3）如图3，在△ABC，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，求线段BQ的长度．
24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，BC⊥AC，P是线段BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AC于点N，交AB于点M，连结AQ．
（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的度数．（用含α的式子表示）；
（2）求证：QM＝AP；
（3）在P点运动过程中线段MB与PQ的比值是否发生变化？若不变请计算它们的比值．
2024-2025学年浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
选：C．
2．（3分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
选：A．
3．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．x2+1＞x B．﹣y+1＞y C．＞1 D．5+4＞8
选：B．
4．（3分）不等式2x﹣1＜3的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
选：D．
5．（3分）下列命题中的真命题是（　　）
A．内错角相等 B．三角形内角和是180°
C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝1
选：B．
6．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
选：B．
7．（3分）如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，若∠A＝20°，则∠MDE的度数为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
选：C．
8．（3分）将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠2
选：B．
9．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（　　）
A．6 B．9 C．11 D．12
选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，直角∠EDF在△ABC内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法：①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF＜CD．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
选：A．
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共30分。
11．（3分）用不等式表示“2a与3b的和是正数”　2a+3b＞0　．
12．（3分）写出命题“对顶角相等”的逆命题　如果两个角相等，那么这两个角是对顶角　．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，斜边AB上的中线长为 　5　．
14．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是　10°　．
15．（3分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，过点B作BF⊥AD，交AD于点F，若AF：EF＝2：1，△CDE的面积为a，则△ABC的面积为 　6a　.（用含a的代数式表示）
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC于点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝1，BC＝6，则DG＝ 　3　，FG＝ 　　．
三、解答题：本题共8小题，共72分。
17．（8分）解下列一元一次不等式：
（1）4+3x＞10；
（2）2x﹣1≤5x+2．
【解答】解：（1）4+3x＞10，
3x＞10﹣4，
3x＞6，
x＞2；
（2）2x﹣1≤5x+2，
2x﹣5x≤2+1，
﹣3x≤3，
x≥﹣1．
18．（8分）如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点D，使AD+CD最小．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）如图，连接AC'交直线l于点D，连接CD，
此时AD+CD＝AD+C'D＝AC'，为最小值，
则点D即为所求．
19．（8分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰三角形．
20．（8分）证明命题：“全等三角形的对应角的平分线相等”是真命题．
【解答】证明：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是两个三角形的角平分线，
求证：AD＝A′D′．
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∵AB＝A′B′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，
∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，
∴∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′，
∴∠BAD＝∠B′A′D′，
在△ABD和△A′B′D′中，
，
∴△ABD≌△A′B′D′（ASA），
∴AD＝A′D′，
∴全等三角形的对应角的平分线相等．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D在BC上，将△ADC沿直线AD翻折，形成△ADC'．
（1）若AC′∥CD，求∠CAD的度数；
（2）若点C的对称点恰好落在AB上，求线段BD的长．
【解答】解：（1）如图1，∵AC′∥CD，
∴∠C′AD＝∠CDA，
由翻折得∠C′AD＝∠CAD，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠CDA+∠CAD＝2∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝45°，
∴∠CAD的度数是45°．
（2）如图2，点C′在AB上，
∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝＝6，
由翻折得AC′＝AC＝6，C′D＝CD＝8﹣BD，∠AC′D＝∠C＝90°，
∴BC′＝AB﹣AC′＝10﹣6＝4，∠BC′D＝90°，
∴BC′2+C′D2＝BD2，
∴42+（8﹣BD）2＝BD2，
解得BD＝5，
∴线段BD的长是5．
22．（10分）如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP．
（1）求证：△ADC≌△APB；
（2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∵∠DAP＝60°，AD＝DP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠PAB＝60°﹣∠PAC，
在△ADC与△APB中，
，
∴△ADC≌△APB（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△APB，
∴CD＝PB＝8，∠APB＝∠ADC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠PAD＝60°，AD＝AP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP＝60°，PD＝PA＝15，
∵PC＝17，
∴CD2+PD2＝PC2，
∴∠PDC＝90°，
∴∠APB＝∠ADC+∠ADP＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°．
23．（10分）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）如图1，若O为AB的中点，求证：直线OC是△ABC的等腰分割线．
（2）如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．
（3）如图3，在△ABC，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，求线段BQ的长度．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，O为AB中点，
在Rt△ACB中，OC＝AB＝AO＝BO，
∴等腰△AOC和等腰△BOC．
则直线OC是△ABC的等腰分割线；
（2）由题可知PA＝PB，BC＝6，
设CP＝x，则PA＝PB＝8﹣x，
在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
x＝．
即：CP＝．
（3）BQ＝5或2或6或．
①若△ACQ为等腰三角形，
如图（3），当AC＝AQ时，AQ＝8，BQ＝AB﹣AQ＝2，
如图（4），当QC＝QA时，Q为AB中点，BQ＝AB＝5．
当CA＝CQ时，Q不在线段AB上，舍去．
②若△BCQ为等腰三角形．
如图（5），当CQ＝CB时，过C作CM⊥AB于M，此时M为BQ的中点，
S△ABC＝BC AC＝AB CM＝×6×8＝×10×CM
CM＝．
Rt△CMQ中，BM＝＝，
∴BQ＝2QM＝．
如图（6），当BC＝BQ时，BQ＝BC＝6．
如图（7），当QC＝QB时，Q为AB中点，BQ＝AB＝5．
综上，BQ＝2或5或或6．
故答案为：5或2或6或．
24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，BC⊥AC，P是线段BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AC于点N，交AB于点M，连结AQ．
（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的度数．（用含α的式子表示）；
（2）求证：QM＝AP；
（3）在P点运动过程中线段MB与PQ的比值是否发生变化？若不变请计算它们的比值．
【解答】（1）解：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM＝90°，
∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α；
（2）证明：作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ＝CP，
∴∠QAC＝∠PAC＝α，AQ＝AP，
∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ，
∴AQ＝QM，
∴QM＝AP；
（3）解：＝不发生变化，理由如下：
∵ME⊥QB，BC⊥AC，
∴∠QEM＝∠ACP＝90°，
∵AC⊥QP，QH⊥AP，
∴∠ACQ＝∠AHQ＝90°，
∵∠QNC＝∠ANH，
∴∠MQE＝∠PAC，
在△APC和△QME中，
，
∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC＝ME，
∵ME⊥QB，∠B＝45°，
∵△MEB是等腰直角三角形，
∴MB＝ME，
∴MB＝PC＝PQ，
∴＝．