荣昌中学校高2027届高一上期（半期）考试
数学试题
满分：150分时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（）
A. B. C. D.
2. 设集合，，若，则（）．
A. 2 B. 1 C. D.
3. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（）
A. B.
C. D.
4. 比较与（，）的大小（）
A. B.
C. D.
5. 设，则p是q成立（）条件
A充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要
6. 已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（）
A. 16 B. 25 C. 9 D. 8
7. 若对于任意实数都有,则
A3 B. 4 C. D.
8. 已知，则的最小值为（）
A. 16 B. 18 C. 8 D. 20
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 下列命题是真命题的为（）
A若，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若且，则
10. 已知，且，则下列结论正确的是（）
A. 的最大值为 B. 的最大值为4
C. 最小值为 D. 的最小值为0
11. 下列说法不正确的是（ ）
A. 函数与是同一个函数
B. 函数的图象与直线的交点最多有1个
C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 函数的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，，，则的取值范围为__________
13. 函数的值域为（）
A. B. C. D.
14. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的定义域为集合A，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 若正实数x，y满足.
（1）若，求的最小值；
（2）若求的最小值
17. 新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产台设备，另需投入成本t万元，若年产量不足100台，则；若年产量不小于100台，则，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
18. 设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
19. 若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”.
（1）直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）；
（2）求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4；
（3）是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数 若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由.荣昌中学校高2027届高一上期（半期）考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】A
8.
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
13.
【答案】C
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
（1）首先求集合，再根据定义求解集合的交，并，补运算.
（2）由可得：，分类讨论，当和两种情况，列不等式求解.
【小问1详解】
（1）：由得：，
，
，或}
或；
【小问2详解】
由，则，则当时，，
当时，，
即或.
16.
【解】
（1）利用“1”的代换凑出积为定值后由基本不等式得最小值；
（2）利用基本不等式得出关于不等式，解得可得．
【详解】（1），则，则，
∴
当且仅当时取等号，∴的最小值为
（2），，∴，∴，的最小值为18.此时．
【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
17.
【解析】
【分析】
（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，利润=总收入-总投入，即得结果；
（2）讨论分段函数最值，即得结果.
【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润；若年产量不小于100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润.
故；
（2）当时，，在对称轴处，取得最大值，；
当，时，，对勾函数在上递减，在上递增，故时，利润取得最大值，，
综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元.
18.
【解析】
【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可.
（2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集.
【小问1详解】
由题设，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，只需，可得；
综上，.
【小问2详解】
当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
19.
【解析】
【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“复活集”.
（2）利用基本不等式证得结论成立.
（3）先求得一个3元“复活集”，然后证明这个“复活集”是唯一的，从而确定正确答案.
【小问1详解】
设一个2元“复活集”为（），则，
由于，所以一个2元“复活集”可为（答案不唯一）.
【小问2详解】
由上述分析可知，2元“复活集”（）满足，
若，则即，
所以（舍去）或即，
所以对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4.
【小问3详解】
设元“复活集”，其中都是正整数，且两两不相等，
根据集合元素的互异性和无序性，不妨设，
根据“复活集”可得，
因为，所以存在元素均为正整数的元“复活集”.
设，则，由，
得，整理得，
由于且都是正整数，所以，
所以，此时元“复活集”为.
当时，由，得，所以，
由于且都是正整数，所以只有满足，
但与矛盾，所以当时，不存在元素均为正整数的元“复活集”.
综上所述，存在某个3元“复活集”，所有符合条件的3元“复活集”为.
