重庆市育才中学校高2027届高一（上）期中考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B
2. A
3. B
4. D
5. D
6. C
7. B
8. D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. BCD
10. AD
11. ACD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 3
13.
14. ①. ； ②. ##
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义求出，最后根据交集的定义计算即可；
（2）由得，分集合为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，，
，
，
；
【小问2详解】
，，
当时，，解得；
当时，解得；
综上，.
16.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系，可得韦达定理，即可将不等式变形为求解；
（2）先由对称轴结合最值得出或，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数的值．
【小问1详解】
由于的解集为或，故和是一元二次方程的两个根，故，解得，
故变形为，
解得，
故不等式的解为
【小问2详解】
当，时，，则对称轴方程为，由于，故或，即或，
当时，最小值，解得，
当时，最小值，解得，
综上：或3．
17.
【解析】
【分析】（1）含参分类讨论结合二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系计算即可；
（2）含参分类讨论解不等式即可.
小问1详解】
由得对一切实数恒成立，
当时，显然恒成立；
当时，则要满足题意需，解之得；
综上实数的取值范围为：；
【小问2详解】
由得，
若，解不等式得；
若，解不等式得或；
若，解不等式得；
若，解不等式得；
若，解不等式得；
综上：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为.
18.
【解析】
【分析】（1）令和计算即可；
（2）令结合（1）的结论及偶函数的定义证明即可；
（3）令，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式.
【小问1详解】
令，则；
令，则；
【小问2详解】
易知函数定义域关于原点对称，
令，则，满足偶函数的定义，证毕；
【小问3详解】
令，易知，
则，
所以在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，
所以，
则，
，即，
即不等式的解集为.
19.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再检验，最后根据对勾函数的性质得到函数的单调区间；
（2）结合（1）的单调性求出的取值范围，从而得到对应的的取值范围，再分、的取值区间讨论，即可求出的范围，从而求出的范围；
（3）不妨设，从而得到，则在上单调递减，令，结合对勾函数的单调性与函数平移规则，得到的单调区间（部分），从而得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
因为为奇函数，所以，
即，即，即，
所以，此时，定义域为，
且，满足奇函数，
由对勾函数的性质可知在，上单调递增，
在，上单调递减，
即的单调递增区间为，，单调递减区间为，.
【小问2详解】
由（1）可知，则，，
所以当时，则；
当时，则；
当，时，则，，
所以，又，所以；
当，时，，，
所以，又，所以；
同理可得，当，时可得；
当，时可得；
综上可得.
【小问3详解】
不妨令，由，可得，
即，
所以在上单调递减，
令
，
则在上单调递减，
又在上单调递减，在上单调递增，
而的图象是由的图象向左平移个单位得到，
所以在上单调递减，在上单调递增，
要使在上单调递减，则，解得，
即的取值范围为.重庆市育才中学校高2027届高一（上）期中考试
数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2.选择题必须使用2B铅笔填涂:非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效；
4.请保持答题卡卡面清洁.不要折叠、损毁：考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为（）
A. ， B. ，
C， D. ，
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A B.
C. D.
4. 已知，则（）
A. B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
6. 已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（）
A. B.
C. D.
7. 设，若，使得关于的不等式有解，则的取值范围为（）
A B. C. D.
8. 设，用表示不超过最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. D. 函数的值域为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（）
A. 集合的真子集有2个
B. 是正方形是矩形
C. 设，，，，若，则
D.
10. 已知实数、、、满足，，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. D.
11. 若定义域为，对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（）
A. 是倒数函数
B. 是倒数函数
C. 若在上是倒数函数，则
D. 若存在，使得在定义域上是倒数函数，则
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是幂函数且在上单调递增，则实数值是______.
13. 已知全集为，集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是______.
14. 已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为，集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为或，求关于的不等式的解集；
（2）当，时，函数在上的最小值为6，求实数的值.
17. 已知函数，实数.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
18. 已知定义域在上的函数满足：，且当时，.
（1）求，的值；
（2）证明是偶函数；
（3）解不等式.
19. 已知，.
（1）若是奇函数，求的取值，并直接写出的单调区间；
（2）在（1）条件下，若在定义域内存在，，满足，求的取值范围；
（3）当时，对任意，且，不等式恒成立，求的取值范围.
