人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.1分式（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
2．（2024八上·合江期末）下列分式中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：
综上可知最简分式有1个；
故答案为：A.
【分析】根据最简分式定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，进行判定即可解答。
3．（2024八上·怀化期末）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时， 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：①，
，故无论a为何实数，都有意义，①正确；
②当时 ，，分母为0分式无意义，②错误；
③，
若分式的值为负，则，
，③正确；
④有意义 ，
，
解得：，④错误.
综上所述，正确的有两个.
故答案为：B.
【分析】①，可知无论a为何实数，都有意义，即可判断；②当时，，分母为0分式无意义，即可判断；③先判断的符号为正，再根据两数相除，同号得正，异号得负，得到，求解即可得到x的取值范围；④根据分式有意义的条件为分母不等于零，即，解不等式即可判断④错误.
4．（2023八上·新邵期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）（填序号即可）．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①分子、分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，①不符合题意；
②，分母可以因式分解，且是最简分式，是“和谐分式”，②符合题意；
③，分母可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，③不符合题意；
④，分子可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简分式、“和谐分式”的定义化简、判断即可.
5．（2023八上·昌黎期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：由题意得，
∵ 分式的值为正数，
∴x+2＞0且x-1≠0，
∴x＞-2且x≠1，
故答案为：C
【分析】先根据题意结合完全平方公式化简分式，再根据分式的大小结合题意即可求解。
6．（2022八上·莱州期末）下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式
B．分式中x，y都扩大2倍，分式的值不变
C．分式的值为0，则x的值为-2
D．分式是最简分式
【答案】C
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、分式中x，y都扩大2倍后的值为，即分式的值扩大2倍，故本选项说法错误，不符合题意；
C、分式的值为0时，且，解得，故本选项说法正确，符合题意；
D、分式，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据分式的定义、分式的基本性质、分式的值及最简分式的定义逐项判断即可。
7．（2021八上·铜仁月考）已知 ，则分式 的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得y-x=3xy，待求式可变形为，然后代入化简即可.
8．（2020八上·曲阜期末）把分式 的分子与分母各项系数化为整数,得到的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解: 不改变分值, 如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数,则分子分母要同时乘以12, 即分式 =
故答案为：B.
【分析】只要将分子分母要同时乘以12,分式各项的系数就可都化为整数.
二、填空题（每空2分）
9．（2016八上·靖江期末）已知 ，则代数式 的值为 ．
【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】解：∵x+ =3，
∴（x+ ）2=9，
即x2+2+ =9，
∴x2+ =9﹣2=7．
【分析】将方程左右两边完全平方，然后再展开左边把常数项移到右边，就可以得出答案。
10．（2021八上·莱州期中）若分式 的值为0，则x﹣2的值为 ．
【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，
解得：x﹣2＝﹣1或1且x≠3，
则x﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
11．（2021八上·长沙期末）若3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0，则 的值为 .
【答案】2
【知识点】分式的值；解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 解方程组 ，解得 ，
原式 .
故答案为： 2 .
【分析】将两等式联立方程组，把z作为已知数，表示出x、y，再将x、y的值代入待求式子进行计算即可求值.
12．（2021八上·甘南期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
且，
故答案为：且．
【分析】利用分式有意义的条件求出，，再求解即可。
13．（2023八上·海淀期末）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”．
（1）判断： （填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．
【答案】不是；（答案不唯一）
【知识点】分式的概念；用字母表示数
【解析】【解答】解：（1）去掉相同的数字3之后，得到的分数为，而，，
故不是“乐数”；
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，
由题意得，
整理得，即，
∵，为正整数，
∴或5或10，
∴或4或9（舍去），
∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或．
故答案为：不是，．
【分析】（1）根据“乐数”的定义即可求出答案.
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，可得，由，为正整数，得到或5或10，即可求出答案.
三、解答题（共14题）
14．（2023八上·海淀月考）如图，已知点，，其中、满足，且分式的值为0，将线段绕点顺时针旋转至，连接、．
（1）直接写出点、的坐标；
（2）求的度数；
（3）若，的平分线交于点，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）解：
设
，
，
（3）解：
理由如下：在上截取，连接
平分
由（1）可知，
又
是等边三角形，
【知识点】分式的值为零的条件；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：分式的值为0，
又
故答案为：.
【分析】（1）利用分式的值为0的条件可得求出a的值，再结合求出b的值，可得点A、B的坐标；
（2）设则，再利用三角形的内角和及角的运算求出，
最后求出即可；
（3）在上截取，连接先利用“SAS”证出，可得OD=OE，证出是等边三角形，可得DE=OD，最后利用线段的和差及等量代换可得
（1）分式的值为0，
又
（2）
设
，
，
（3）理由如下：在上截取，连接
平分
由（1）可知，
又
是等边三角形，
15．（2019八上·椒江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式： ； ； ； 其中是“和谐分式”是 填写序号即可 ；
（2）若a为正整数，且 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；
（3）在化简 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：
小强：
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，请你接着小强的方法完成化简．
【答案】（1）②
（2）解：a=4，a=-4，a=5
（3）
【知识点】因式分解的概念；分式的约分
【解析】【分析】（1）根据 “和谐分式”的定义，可以判定题目中的的和谐分式。
（2）抓住已知条件 a为正整数，且 为“和谐分式” ，由于分子不能分解因式，因此分母必须能分解因式且不能含有因式x-1即可，再求出满足条件的a的所有的值。
（3）根据题意，利用“和谐分式”的定义就可解答此题。
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.1分式（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2024八上·合江期末）下列分式中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024八上·怀化期末）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时， 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023八上·新邵期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）（填序号即可）．
A．① B．② C．③ D．④
5．（2023八上·昌黎期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
6．（2022八上·莱州期末）下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式
B．分式中x，y都扩大2倍，分式的值不变
C．分式的值为0，则x的值为-2
D．分式是最简分式
7．（2021八上·铜仁月考）已知 ，则分式 的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
8．（2020八上·曲阜期末）把分式 的分子与分母各项系数化为整数,得到的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空2分）
9．（2016八上·靖江期末）已知 ，则代数式 的值为 ．
10．（2021八上·莱州期中）若分式 的值为0，则x﹣2的值为 ．
11．（2021八上·长沙期末）若3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0，则 的值为 .
12．（2021八上·甘南期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
13．（2023八上·海淀期末）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”．
（1）判断： （填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．
三、解答题（共14题）
14．（2023八上·海淀月考）如图，已知点，，其中、满足，且分式的值为0，将线段绕点顺时针旋转至，连接、．
（1）直接写出点、的坐标；
（2）求的度数；
（3）若，的平分线交于点，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
15．（2019八上·椒江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式： ； ； ； 其中是“和谐分式”是 填写序号即可 ；
（2）若a为正整数，且 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；
（3）在化简 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：
小强：
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，请你接着小强的方法完成化简．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
2．【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：
综上可知最简分式有1个；
故答案为：A.
【分析】根据最简分式定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，进行判定即可解答。
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：①，
，故无论a为何实数，都有意义，①正确；
②当时 ，，分母为0分式无意义，②错误；
③，
若分式的值为负，则，
，③正确；
④有意义 ，
，
解得：，④错误.
综上所述，正确的有两个.
故答案为：B.
【分析】①，可知无论a为何实数，都有意义，即可判断；②当时，，分母为0分式无意义，即可判断；③先判断的符号为正，再根据两数相除，同号得正，异号得负，得到，求解即可得到x的取值范围；④根据分式有意义的条件为分母不等于零，即，解不等式即可判断④错误.
4．【答案】B
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①分子、分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，①不符合题意；
②，分母可以因式分解，且是最简分式，是“和谐分式”，②符合题意；
③，分母可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，③不符合题意；
④，分子可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简分式、“和谐分式”的定义化简、判断即可.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：由题意得，
∵ 分式的值为正数，
∴x+2＞0且x-1≠0，
∴x＞-2且x≠1，
故答案为：C
【分析】先根据题意结合完全平方公式化简分式，再根据分式的大小结合题意即可求解。
6．【答案】C
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、分式中x，y都扩大2倍后的值为，即分式的值扩大2倍，故本选项说法错误，不符合题意；
C、分式的值为0时，且，解得，故本选项说法正确，符合题意；
D、分式，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据分式的定义、分式的基本性质、分式的值及最简分式的定义逐项判断即可。
7．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得y-x=3xy，待求式可变形为，然后代入化简即可.
8．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解: 不改变分值, 如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数,则分子分母要同时乘以12, 即分式 =
故答案为：B.
【分析】只要将分子分母要同时乘以12,分式各项的系数就可都化为整数.
9．【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】解：∵x+ =3，
∴（x+ ）2=9，
即x2+2+ =9，
∴x2+ =9﹣2=7．
【分析】将方程左右两边完全平方，然后再展开左边把常数项移到右边，就可以得出答案。
10．【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，
解得：x﹣2＝﹣1或1且x≠3，
则x﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
11．【答案】2
【知识点】分式的值；解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 解方程组 ，解得 ，
原式 .
故答案为： 2 .
【分析】将两等式联立方程组，把z作为已知数，表示出x、y，再将x、y的值代入待求式子进行计算即可求值.
12．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
且，
故答案为：且．
【分析】利用分式有意义的条件求出，，再求解即可。
13．【答案】不是；（答案不唯一）
【知识点】分式的概念；用字母表示数
【解析】【解答】解：（1）去掉相同的数字3之后，得到的分数为，而，，
故不是“乐数”；
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，
由题意得，
整理得，即，
∵，为正整数，
∴或5或10，
∴或4或9（舍去），
∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或．
故答案为：不是，．
【分析】（1）根据“乐数”的定义即可求出答案.
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，可得，由，为正整数，得到或5或10，即可求出答案.
14．【答案】（1）
（2）解：
设
，
，
（3）解：
理由如下：在上截取，连接
平分
由（1）可知，
又
是等边三角形，
【知识点】分式的值为零的条件；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：分式的值为0，
又
故答案为：.
【分析】（1）利用分式的值为0的条件可得求出a的值，再结合求出b的值，可得点A、B的坐标；
（2）设则，再利用三角形的内角和及角的运算求出，
最后求出即可；
（3）在上截取，连接先利用“SAS”证出，可得OD=OE，证出是等边三角形，可得DE=OD，最后利用线段的和差及等量代换可得
（1）分式的值为0，
又
（2）
设
，
，
（3）理由如下：在上截取，连接
平分
由（1）可知，
又
是等边三角形，
15．【答案】（1）②
（2）解：a=4，a=-4，a=5
（3）
【知识点】因式分解的概念；分式的约分
【解析】【分析】（1）根据 “和谐分式”的定义，可以判定题目中的的和谐分式。
（2）抓住已知条件 a为正整数，且 为“和谐分式” ，由于分子不能分解因式，因此分母必须能分解因式且不能含有因式x-1即可，再求出满足条件的a的所有的值。
（3）根据题意，利用“和谐分式”的定义就可解答此题。
1 / 1
