人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.2分式的运算（三阶）
阅卷人 一、选择题（每题3分）
得分
1．（2024八上·永年开学考）某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·青山期末）已知：a，b，c三个数满足：，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·宣化期中） 小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·襄都月考）老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁
5．（2021八上·莱州期中）对于下列说法，错误的个数是（ ）
① 是分式；②当x≠1时， 成立；③当x=﹣3时，分式 的值是零；④a ；⑤ ；⑥2﹣x ．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
6．（2021八上·绵阳期末）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·黄埔期末）若a2+2a﹣1＝0，则（a﹣）的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．（2020八上·凤山期末）已知 ，则 值为（ ）
A．10 B．9 C．12 D．3
阅卷人 二、填空题（每题2分）
得分
9．（2020八上·铜仁月考）若（t-3）t-2=1，则t= .
10．（2019八上·昌平月考）已知 ，则式子 的值等于
11．（2021八上·内江期中）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
12．（2024八上·汉阳期末）一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……，则第n次倒出后，倒出的水的总量为 L．
13．（2024八上·重庆市期末）已知，则的值为 ．
阅卷人 三、计算题（共6分）
得分
14．（2018-2019学年数学湘教版八年级上册1.3.3整数指数幂的运算法则 同步练习）计算下列各式，并把结果化为只含有正整数次幂的形式：
（1）a-2b2·(-2a2b-2)-2÷(a-4b2)；
（2） ÷ · .
阅卷人 四、解答题（共10分）
得分
15．（2024八上·丰城开学考）在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都是整数的点为“整点”，若坐标系内两个“整点”满足关于x的多项式能够因式分解为，则称点B是点A的分解点，例如满足，所以B是A的“分解点”．
（1）在点中，请找出不存在的“分解点”的点_______．
（2）点存在分解点，求代数式的值．
（3）在P，Q都在纵轴y轴上，（P在Q的上方），点M在横轴x轴上，且点P、Q、M都存在“分解点”，若面积为5，请直接写出点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由，
故选：D．
【分析】根据题意列出算式，应用平方差公式，再进行约分化简即可
2．【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意可知： ，，，再把它们相加可得，从而可得的值.
3．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题可得，撕坏的一角为：
故答案为：A.
【分析】根据分式的混合运算将 转化为，进而化简求解.
4．【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】根据题意可得：
=，
∴乙和丙的计算方法错误，
故答案为：B.
【分析】利用分式的除法的计算方法分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：① 不是分式，本选项错误；
②当x≠1时， ==x+1，本选项正确；
③当x=﹣3时，分式分母为0，没有意义，错误；
④a÷b× ，本选项错误；
⑤ ，本选项错误；
⑥2-x ，本选项错误，
则错误的选项有5个．
故答案为：B
【分析】根据分式的定义、分式的的值为0的条件、分式的乘除法及分式的混合运算逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴n＝1，
∴ ，
故答案为：B
【分析】把
代入等式
并结合同底数幂乘法法则可求得n的值，再把n的值代入所求代数式计算即可求解.
7．【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式＝（），
＝，
＝（+2），
＝，
当＝1时，
原式＝1．
故答案为：C．
【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a2+2a﹣1＝0代入计算即可。
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；等式的基本性质
【解析】【解答】解：由 ，可知 ，
已知 ，等式两边同时除以 可得： ，
将 ，代入 ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】由负指数幂的意义及完全平方公式的恒等变形得 ，可知 ，然后根据等式的性质得出，进而整体代入进而整体代入求解.
9．【答案】2或4
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵任意非0实数的0次幂都为1，1的任何次方都是1，-1的偶次幂为1，
∴①当t-2=0，t-3≠0时，
解得：t=2；
②当t-3=1时，
解得：t=4；
③当t-3=-1，t-2为偶数时，
解得：t=2，
故答案为：2或4
【分析】根据零指数幂的性质可得t-2=0，t-3≠0；根据1的任何次方都是1可得t-3=1；根据-1的偶次幂为1可得t-3=-1，t-2为偶数，进而可得t的值.
10．【答案】1
【知识点】代数式求值；分式的基本性质；分式的加减法；等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：1
【分析】先把原式化简得到最简结果，再把已知等式变形为 ，代入计算即可求出值．
11．【答案】1
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ =4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0.
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴ ，
即 的值为1.
故答案为：1.
【分析】将原式利用去分母、去括号、合并、提取公因式可得出xyz=x+y+z，再将原式通分可得，最后代入计算即可.
12．【答案】
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：第1次倒出升水，
第2次倒出水量是升的，
第3次倒出水量是升的，
第4次倒出水量是升的，
…，
第n次倒出水量是升的，
则第n次倒出水后，倒出的水量为：
；
故答案为：.
【分析】根据题目信息可推得第n次倒出水量是升的，将前n次倒出的水量相加即可求解.
13．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
由x-3y=0得：x=3y，
。
故答案为： 。
【分析】先根据分式的混合运算化简，再把x-3y=0变形为x=3y，代入计算即可。
14．【答案】（1）解：原式=a-2b2· a-4b4·a4b-2= a-2b4=
（2）解：原式= = = =a6b9
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）此题的运算顺序：先算乘方运算，再算乘除法运算，然后将负整数指数幂转化为正整数指数幂，可解答。
（2）先利用同底数指数幂相乘的法则计算，再利用分式乘方法则计算，然后将负整数指数幂转化为正整数指数幂，可解答。
15．【答案】（1）
（2）解：点存在分解点，
可以因式分解，
或2，
，
，
把代入，得
（3）解：点，在纵轴上在的上方），，都存在分解点，
点，点都在纵轴的负半轴，
则设点，点，，为有理数，，
点M在横轴上，M存在分解点，
当点M在负半轴上，
设点，
面积为5，
，
，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，则点，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，（不合题意舍去），
当点M在正半轴上，
设点，
面积为5，
，
，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，则点，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，（不合题意舍去），
故答案为或
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）点
，
点是点的分解点，
∵点
不能因式分解，找不到分解点，
点是点的分解点，
∴
点是点的分解点，
故答案为：.
【分析】（1）根据，不能因式分解，，，利用分解点的定义可判断点是否存在的“分解点”的点；
（2）已知点存在分解点，根据分解点的定义可得：，
先将代数式进行通分，再将除法运算化为乘法运算可得：原式=，进而可求出化简后的代数式，根据分式有意义可得，再将a的值代入代数式可求出答案；
（3）由分解点的定义可得点，点都在纵轴的负半轴，分两种情况：点M在横轴正半轴和点M在横负半轴，设出点M的坐标，利用三角形的面积公式可列出方程：，，解方程可求出n，a，b的值，进而可求出点M的坐标.
（1）解：点
，
点是点的分解点，
∵点
不能因式分解，找不到分解点，
点是点的分解点，
∴
点是点的分解点，
故答案为：；
（2）解：点存在分解点，
可以因式分解，
或2，
，
，
把代入，得
（3）解：点，在纵轴上在的上方），，都存在分解点，
点，点都在纵轴的负半轴，
则设点，点，，为有理数，，
点M在横轴上，M存在分解点，
当点M在负半轴上，
设点，
面积为5，
，
，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，则点，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，（不合题意舍去），
当点M在正半轴上，
设点，
面积为5，
，
，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，则点，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，（不合题意舍去），
故答案为或
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.2分式的运算（三阶）
阅卷人 一、选择题（每题3分）
得分
1．（2024八上·永年开学考）某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由，
故选：D．
【分析】根据题意列出算式，应用平方差公式，再进行约分化简即可
2．（2024八上·青山期末）已知：a，b，c三个数满足：，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意可知： ，，，再把它们相加可得，从而可得的值.
3．（2023八上·宣化期中） 小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题可得，撕坏的一角为：
故答案为：A.
【分析】根据分式的混合运算将 转化为，进而化简求解.
4．（2023八上·襄都月考）老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】根据题意可得：
=，
∴乙和丙的计算方法错误，
故答案为：B.
【分析】利用分式的除法的计算方法分析求解即可.
5．（2021八上·莱州期中）对于下列说法，错误的个数是（ ）
① 是分式；②当x≠1时， 成立；③当x=﹣3时，分式 的值是零；④a ；⑤ ；⑥2﹣x ．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：① 不是分式，本选项错误；
②当x≠1时， ==x+1，本选项正确；
③当x=﹣3时，分式分母为0，没有意义，错误；
④a÷b× ，本选项错误；
⑤ ，本选项错误；
⑥2-x ，本选项错误，
则错误的选项有5个．
故答案为：B
【分析】根据分式的定义、分式的的值为0的条件、分式的乘除法及分式的混合运算逐项判断即可。
6．（2021八上·绵阳期末）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴n＝1，
∴ ，
故答案为：B
【分析】把
代入等式
并结合同底数幂乘法法则可求得n的值，再把n的值代入所求代数式计算即可求解.
7．（2021八上·黄埔期末）若a2+2a﹣1＝0，则（a﹣）的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式＝（），
＝，
＝（+2），
＝，
当＝1时，
原式＝1．
故答案为：C．
【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a2+2a﹣1＝0代入计算即可。
8．（2020八上·凤山期末）已知 ，则 值为（ ）
A．10 B．9 C．12 D．3
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；等式的基本性质
【解析】【解答】解：由 ，可知 ，
已知 ，等式两边同时除以 可得： ，
将 ，代入 ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】由负指数幂的意义及完全平方公式的恒等变形得 ，可知 ，然后根据等式的性质得出，进而整体代入进而整体代入求解.
阅卷人 二、填空题（每题2分）
得分
9．（2020八上·铜仁月考）若（t-3）t-2=1，则t= .
【答案】2或4
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵任意非0实数的0次幂都为1，1的任何次方都是1，-1的偶次幂为1，
∴①当t-2=0，t-3≠0时，
解得：t=2；
②当t-3=1时，
解得：t=4；
③当t-3=-1，t-2为偶数时，
解得：t=2，
故答案为：2或4
【分析】根据零指数幂的性质可得t-2=0，t-3≠0；根据1的任何次方都是1可得t-3=1；根据-1的偶次幂为1可得t-3=-1，t-2为偶数，进而可得t的值.
10．（2019八上·昌平月考）已知 ，则式子 的值等于
【答案】1
【知识点】代数式求值；分式的基本性质；分式的加减法；等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：1
【分析】先把原式化简得到最简结果，再把已知等式变形为 ，代入计算即可求出值．
11．（2021八上·内江期中）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
【答案】1
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ =4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0.
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴ ，
即 的值为1.
故答案为：1.
【分析】将原式利用去分母、去括号、合并、提取公因式可得出xyz=x+y+z，再将原式通分可得，最后代入计算即可.
12．（2024八上·汉阳期末）一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……，则第n次倒出后，倒出的水的总量为 L．
【答案】
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：第1次倒出升水，
第2次倒出水量是升的，
第3次倒出水量是升的，
第4次倒出水量是升的，
…，
第n次倒出水量是升的，
则第n次倒出水后，倒出的水量为：
；
故答案为：.
【分析】根据题目信息可推得第n次倒出水量是升的，将前n次倒出的水量相加即可求解.
13．（2024八上·重庆市期末）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
由x-3y=0得：x=3y，
。
故答案为： 。
【分析】先根据分式的混合运算化简，再把x-3y=0变形为x=3y，代入计算即可。
阅卷人 三、计算题（共6分）
得分
14．（2018-2019学年数学湘教版八年级上册1.3.3整数指数幂的运算法则 同步练习）计算下列各式，并把结果化为只含有正整数次幂的形式：
（1）a-2b2·(-2a2b-2)-2÷(a-4b2)；
（2） ÷ · .
【答案】（1）解：原式=a-2b2· a-4b4·a4b-2= a-2b4=
（2）解：原式= = = =a6b9
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）此题的运算顺序：先算乘方运算，再算乘除法运算，然后将负整数指数幂转化为正整数指数幂，可解答。
（2）先利用同底数指数幂相乘的法则计算，再利用分式乘方法则计算，然后将负整数指数幂转化为正整数指数幂，可解答。
阅卷人 四、解答题（共10分）
得分
15．（2024八上·丰城开学考）在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都是整数的点为“整点”，若坐标系内两个“整点”满足关于x的多项式能够因式分解为，则称点B是点A的分解点，例如满足，所以B是A的“分解点”．
（1）在点中，请找出不存在的“分解点”的点_______．
（2）点存在分解点，求代数式的值．
（3）在P，Q都在纵轴y轴上，（P在Q的上方），点M在横轴x轴上，且点P、Q、M都存在“分解点”，若面积为5，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）解：点存在分解点，
可以因式分解，
或2，
，
，
把代入，得
（3）解：点，在纵轴上在的上方），，都存在分解点，
点，点都在纵轴的负半轴，
则设点，点，，为有理数，，
点M在横轴上，M存在分解点，
当点M在负半轴上，
设点，
面积为5，
，
，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，则点，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，（不合题意舍去），
当点M在正半轴上，
设点，
面积为5，
，
，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，则点，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，（不合题意舍去），
故答案为或
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）点
，
点是点的分解点，
∵点
不能因式分解，找不到分解点，
点是点的分解点，
∴
点是点的分解点，
故答案为：.
【分析】（1）根据，不能因式分解，，，利用分解点的定义可判断点是否存在的“分解点”的点；
（2）已知点存在分解点，根据分解点的定义可得：，
先将代数式进行通分，再将除法运算化为乘法运算可得：原式=，进而可求出化简后的代数式，根据分式有意义可得，再将a的值代入代数式可求出答案；
（3）由分解点的定义可得点，点都在纵轴的负半轴，分两种情况：点M在横轴正半轴和点M在横负半轴，设出点M的坐标，利用三角形的面积公式可列出方程：，，解方程可求出n，a，b的值，进而可求出点M的坐标.
（1）解：点
，
点是点的分解点，
∵点
不能因式分解，找不到分解点，
点是点的分解点，
∴
点是点的分解点，
故答案为：；
（2）解：点存在分解点，
可以因式分解，
或2，
，
，
把代入，得
（3）解：点，在纵轴上在的上方），，都存在分解点，
点，点都在纵轴的负半轴，
则设点，点，，为有理数，，
点M在横轴上，M存在分解点，
当点M在负半轴上，
设点，
面积为5，
，
，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，则点，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，（不合题意舍去），
当点M在正半轴上，
设点，
面积为5，
，
，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，则点，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，（不合题意舍去），
故答案为或
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