人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.3分式方程（二阶）
阅卷人 一、选择题（每题3分）
得分
1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是( ).
A．a≥1 B．a>1 C．a≥1且a≠4 D．a>1且a≠4
【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程的解为非负数
∴
∴
∴a≥1
∵x－2≠0
∴x≠2，即
解得：a≠4
综上所述： a≥1且a≠4
故答案为：C
【分析】去分母，将分式方程化为整式方程，解方程即可求出答案.
2．（人教版八年级数学上册 第十五章分式 单元检测a卷）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得： ．
故答案为：C．
【分析】根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱少用6个，即可列出分式方程。
3．（2024八上·宁波开学考）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是或
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是
【答案】A
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：的公分母是
方程两边同时乘上
得
若此整式方程无解，则
解得
若整式方程有解，使得公分母为0，则这个解是分式方程的增根
令：
∴
∴
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则或，故C是正确的；
故答案为：A
【分析】将含参的分式方程先化成整式方程后，在根据分式方程无解，分成两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但分式方程无解（分式方程有增根），分别解出m的值即可.
4．（2020八上·科尔沁期末）若关于x的方程 有正数解，则（ ）．
A．m＞0且m≠3 B．m＜6且m≠3 C．m＜0 D．m＞6
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据解为正数以及x 3求出m的取值范围.将方程的两边同时乘以(x-3)可得：x-2(x-3)=m，解得：x=6-m，根据解为正数可得： 且 ，则： 且 ，解得： 且 .
【分析】先利用分式方程的解法求出方程的解，再根据“方程由正数解”即可得到 且 求解即可。
5．（2024八上·遵义期末）某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设规定的工期为x天，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设规定的工期为x天，根据“学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成”列出方程即可.
6．（2024八上·南充期末）若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A．7 B．5 C．0 D．－2
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解分式方程得：，
由分式方程的解为非负整数，可得：m＋5＝0，3，6，9，12…，
解之：m＝－5，－2，1，4，7…；
解不等式组：m≤y＜10，且不等式组至少有3个整数解，
得到m≤7，
所以m＝－5，－2，1，4，7.（因分式方程中x≠1，故m＝－2舍去）．
故m可取的整数值为－5，1，4，7.
其和为7．
故答案为：A.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负整数，求出m的值，再结合m≤7，求出所有符合条件的整数，最后利用有理数的加法计算即可.
7．（2024八上·三台期末）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，绵阳市某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设骑车师生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，
故答案为：B
【分析】设骑车师生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，根据题意即可列出分式方程，进而即可求解。
8．（2023八上·十堰期末）若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得：
解②得：
∵关于x的不等式组的解集为，
∴
解得：
∵关于x的分式方程的解为非负数，且
∴
综上所述，a的取值范围为：
∴满足条件的整数有2，3，5，共三个，
故答案为：B.
【分析】解不等式组结合关于x的不等式组的解集为，得到a的取值范围为解分式方程即可得到a的取值范围为：进而即可求解.
阅卷人 二、填空题（每题2分）
得分
9．（2024八上·从江月考）若关于x的分式方程2-=的解是正数，则k的取值范围是 .
【答案】k<4且k≠0
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】将分式方程2-= 化为整式方程得2（x-2）-（1-k）=-1，
整理得2x=，4-k，即
方程的解是正数，
解得 k<4 ，
又当x=2是原分式方程的增根，
k≠0 ，
k的取值范围是k<4且k≠0.
【分析】先将分式方程化为整式方程，用k表示x，结合题意，利用已知条件即可求解.
10．（2023八上·十堰期末）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 ．
【答案】0或
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴原方程为：，
化简得：
当m=0时，整式方程无解，即原分式方程无解，
当m≠0时，整式方程的解为
∵当x=1时，分式方程无解，
∴x=-1，
综上所述，m的值为0或-1时。原分式方程无解，
故答案为：0或-1.
【分析】根据新运算的定义得到分式方程为，进而根据"分式方程无解"，进而即可求解.
11．（2024八上·松原期末）某市处理污水，需要铺设一条长为1000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道x米，则可得方程 .
【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：，
∴所列方程为：，
故答案为：.
【分析】基本关系：工作量=工作效率×工作时间，利用原计划用的时间 实际用的时间＝5 建立方程．
12．（2020八上·日照期末）若关于x的方程.无解，则m的值是 ．
【答案】1或
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：3 2x+mx-2=3-x
∴-x+mx=2
∴（m-1）x=2
当m-1=0时，
此时方程无解，符合题意，
此时m=1，
当m-1≠0时，
由于方程无解，即x 3=0，x=3
将x=3代入x=，得，
∴解得：m=
故答案为1或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值。
13．（2023八上·桂平期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程（其中）的解为 .
【答案】
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）时，
∵（其中）
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
（2）时，
∵（其中）
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∵，
∴不符合题意；
综上所述，方程（其中）的解为.
故答案为：.
【分析】分两种情况：（1）时，（2）时，根据新定义分别列出方程并解之即可.
阅卷人 三、计算题（共6分）
得分
14．（2024八上·道县期末）解分式方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
（2）解：
去分母得：，
解得：，
经检验，是增根，舍去，
∴原方程无解．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母化为整式，再解方程检验即可求出答案.
（2）先去分母化为整式，再解方程检验即可求出答案.
阅卷人 四、解答题（共10分）
得分
15．（2023八上·通州月考）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
（1）判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
（2）若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
（3）若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
【答案】（1）①
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，而且如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】（1）解：①当，时，解方程得，经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故答案为：①；
【分析】（1）根据“方程数对“的定义即可判断；
（2）由“方程数对“的定义可得是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可；
（3）“方程数对“的定义可得是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可．
（1）解：①当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故答案为：①；
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.3分式方程（二阶）
阅卷人 一、选择题（每题3分）
得分
1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是( ).
A．a≥1 B．a>1 C．a≥1且a≠4 D．a>1且a≠4
2．（人教版八年级数学上册 第十五章分式 单元检测a卷）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·宁波开学考）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是或
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是
4．（2020八上·科尔沁期末）若关于x的方程 有正数解，则（ ）．
A．m＞0且m≠3 B．m＜6且m≠3 C．m＜0 D．m＞6
5．（2024八上·遵义期末）某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·南充期末）若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A．7 B．5 C．0 D．－2
7．（2024八上·三台期末）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，绵阳市某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·十堰期末）若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
阅卷人 二、填空题（每题2分）
得分
9．（2024八上·从江月考）若关于x的分式方程2-=的解是正数，则k的取值范围是 .
10．（2023八上·十堰期末）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 ．
11．（2024八上·松原期末）某市处理污水，需要铺设一条长为1000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道x米，则可得方程 .
12．（2020八上·日照期末）若关于x的方程.无解，则m的值是 ．
13．（2023八上·桂平期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程（其中）的解为 .
阅卷人 三、计算题（共6分）
得分
14．（2024八上·道县期末）解分式方程．
（1）
（2）
阅卷人 四、解答题（共10分）
得分
15．（2023八上·通州月考）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
（1）判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
（2）若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
（3）若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程的解为非负数
∴
∴
∴a≥1
∵x－2≠0
∴x≠2，即
解得：a≠4
综上所述： a≥1且a≠4
故答案为：C
【分析】去分母，将分式方程化为整式方程，解方程即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得： ．
故答案为：C．
【分析】根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱少用6个，即可列出分式方程。
3．【答案】A
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：的公分母是
方程两边同时乘上
得
若此整式方程无解，则
解得
若整式方程有解，使得公分母为0，则这个解是分式方程的增根
令：
∴
∴
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则或，故C是正确的；
故答案为：A
【分析】将含参的分式方程先化成整式方程后，在根据分式方程无解，分成两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但分式方程无解（分式方程有增根），分别解出m的值即可.
4．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据解为正数以及x 3求出m的取值范围.将方程的两边同时乘以(x-3)可得：x-2(x-3)=m，解得：x=6-m，根据解为正数可得： 且 ，则： 且 ，解得： 且 .
【分析】先利用分式方程的解法求出方程的解，再根据“方程由正数解”即可得到 且 求解即可。
5．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设规定的工期为x天，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设规定的工期为x天，根据“学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成”列出方程即可.
6．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解分式方程得：，
由分式方程的解为非负整数，可得：m＋5＝0，3，6，9，12…，
解之：m＝－5，－2，1，4，7…；
解不等式组：m≤y＜10，且不等式组至少有3个整数解，
得到m≤7，
所以m＝－5，－2，1，4，7.（因分式方程中x≠1，故m＝－2舍去）．
故m可取的整数值为－5，1，4，7.
其和为7．
故答案为：A.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负整数，求出m的值，再结合m≤7，求出所有符合条件的整数，最后利用有理数的加法计算即可.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设骑车师生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，
故答案为：B
【分析】设骑车师生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，根据题意即可列出分式方程，进而即可求解。
8．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得：
解②得：
∵关于x的不等式组的解集为，
∴
解得：
∵关于x的分式方程的解为非负数，且
∴
综上所述，a的取值范围为：
∴满足条件的整数有2，3，5，共三个，
故答案为：B.
【分析】解不等式组结合关于x的不等式组的解集为，得到a的取值范围为解分式方程即可得到a的取值范围为：进而即可求解.
9．【答案】k<4且k≠0
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】将分式方程2-= 化为整式方程得2（x-2）-（1-k）=-1，
整理得2x=，4-k，即
方程的解是正数，
解得 k<4 ，
又当x=2是原分式方程的增根，
k≠0 ，
k的取值范围是k<4且k≠0.
【分析】先将分式方程化为整式方程，用k表示x，结合题意，利用已知条件即可求解.
10．【答案】0或
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴原方程为：，
化简得：
当m=0时，整式方程无解，即原分式方程无解，
当m≠0时，整式方程的解为
∵当x=1时，分式方程无解，
∴x=-1，
综上所述，m的值为0或-1时。原分式方程无解，
故答案为：0或-1.
【分析】根据新运算的定义得到分式方程为，进而根据"分式方程无解"，进而即可求解.
11．【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：，
∴所列方程为：，
故答案为：.
【分析】基本关系：工作量=工作效率×工作时间，利用原计划用的时间 实际用的时间＝5 建立方程．
12．【答案】1或
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：3 2x+mx-2=3-x
∴-x+mx=2
∴（m-1）x=2
当m-1=0时，
此时方程无解，符合题意，
此时m=1，
当m-1≠0时，
由于方程无解，即x 3=0，x=3
将x=3代入x=，得，
∴解得：m=
故答案为1或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值。
13．【答案】
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）时，
∵（其中）
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
（2）时，
∵（其中）
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∵，
∴不符合题意；
综上所述，方程（其中）的解为.
故答案为：.
【分析】分两种情况：（1）时，（2）时，根据新定义分别列出方程并解之即可.
14．【答案】（1）解：
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
（2）解：
去分母得：，
解得：，
经检验，是增根，舍去，
∴原方程无解．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母化为整式，再解方程检验即可求出答案.
（2）先去分母化为整式，再解方程检验即可求出答案.
15．【答案】（1）①
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，而且如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】（1）解：①当，时，解方程得，经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故答案为：①；
【分析】（1）根据“方程数对“的定义即可判断；
（2）由“方程数对“的定义可得是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可；
（3）“方程数对“的定义可得是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可．
（1）解：①当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故答案为：①；
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
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