人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.3分式方程（三阶）
阅卷人 一、选择题（每题3分）
得分
1．（2024八上·东安期末）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
两边同乘得：，
方程有增根，
将代入上式得：，
a=3.
故答案为：B.
【分析】根据解分式方程的一般步骤先去分母，再将增根代入即可解得a 的值.
2．（2019八上·威海期末）某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（ ）
A．40分钟 B．60分钟 C．80分钟 D．100分钟
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙单独完成需要x分钟，
由题意可知：20( + )+ ＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
故答案为：C.
【分析】根据“工作效率 工作时间=工作总量”列出方程解决即可.
3．（2024八上·广水期末）某公司准备铺设一条长的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快，结果提前天完成任务设原计划每天铺设道路，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设道路，则实际每天铺设道路为（1+10%）xm，
依题意得： .
故答案为：A.
【分析】设原计划每天铺设道路，则实际每天铺设道路为（1+10%）xm，根据工作总量除以工作效率=工作时间分别表示出原计划及实际的工作时间，进而根据“ 提前天完成任务 ”列出方程即可.
4．（2024八上·雨花期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母，得：m-2=x+1，
∴x=m-3，
∵的解为负数，
∴m-3＜0，且x+1≠0，
∴m＜3，且m≠2.
故答案为：D。
【分析】首先解分式方程，求得方程的解x=m-3，然后根据题意，得出m-3＜0，且x+1≠0，解得m的取值范围即可。
5．（2021八上·江津期末）若数 使关于 的分式方程 的解为非负数，且使关于 的不等式组 的解集为 ，则符合条件的所有整数 的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：分式方程 ，得 ，
∵分式方程 的解为非负数，
∴ ，
解得a 5，a≠2
∵关于 的不等式组 ，得 ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
∴ ，且a 2，
∴整数a为：-2、-1、0、1、3、4、5，共有7个，
故答案为：C.
【分析】根据分式方程 的解为非负数求得a 5，a≠2，根据不等式组的解集为 ，求得 ，即可得到a的取值范围 ，且a 2，根据整数的意义得到a的整数值.
6．（2024八上·重庆市期末）设为正整数，则存在正整数和，使得，则、的值分别为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；解分式方程
【解析】【解答】解：两边同时乘以a2-b，得：
，
两边同时加上a2-b，得：
，
即，
∵x、a、b都是正整数，
∴a-1=a2-b，a-1=x+1，
∴a=x+2，b=a2-a+1=(x+2)2-(x+2)+1=x2+3x+3.
故答案为：A。
【分析】去分母得，两边同时加上，整理后因式分解得到，根据等式恒成立的条件列出方程，可求出a，b的值。
7．（2023八上·大名月考）老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围．嘉嘉的解答为．淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，a还有一个限制条件．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，限制条件是
B．淇淇说的不对，答案就是
C．嘉嘉的解答不对，应该是
D．淇淇说的对，限制条件是
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
去分母，得：x-3=2(x-1)+a，
去括号，得：x-3=2x-2+a，
移项，合并同类项，得：-x=a+1，
系数化成1，得：x=-a-1，
∵若关于x的分式方程的解为正数，
∴-a-1＞0，
∴，
又 x-1≠0，
∴-a-1-1≠0，
∴a≠-2.
故答案为：A。
【分析】根据分式方程有解的条件，最简公分母不等于0，即可得到限制条件。
8．（2022八上·高青期中）在计算÷时，把运算符号“÷”看成了“+”，计算结果是m，则这道题的正确的结果是（ ）
A． B． C．m-1 D．m
【答案】D
【知识点】分式的乘除法；解分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
+=m，
方程两边同时乘以m+1，得m2+=m（m+1），
解得=m，
∴÷=÷=m，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出方程+=m，求出=m，再求解即可。
阅卷人 二、填空题（每题2分）
得分
9．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
10．（2020八上·兖州期末）某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
【答案】13
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设制作课桌的工人为 名，则制作椅子的工人有 名，
则制作 把椅子所需时间 ，
制作 张课桌所用的时间为 ，
令 ，
当 值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，
当 时，即 ，
解得 不符合实际，
当 时， ，
当 时， ，
即当 时，完成此项工作时间最短．
故答案是：13．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
11．（2022八上·呈贡月考）若关于x的分式方程无解，则 ．
【答案】或3或
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边都乘，得
，
化简得，得：，
当时，方程无解；
当时，分母为零，分式方程无解，
把代入整式方程，；
把代入整式方程，得；
综上可得：或3或．
故答案是：或3或．
【分析】分式方程无解分两种情况分析：（1）原方程存在增根；（2）原方程去掉分母后，整式方程无解.
12．（2022八上·南宁期末）“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平培育的杂交水稻解决了全球多个国家的温饱问题.某试验基地现有、两块试验田，分别种植甲、乙两种杂交水稻，今年两块实验田分别收获了24吨和30吨水稻.已知甲种杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的1.2倍，块试验田比块试验田少10亩，设乙种杂交水稻的亩产量是吨，则可列得的方程为 .
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙种杂交水稻的亩产量是x吨，则甲种杂交水稻的亩产量1.2 x吨，
根据题意得 ，
故答案为：.
【分析】设乙种杂交水稻的亩产量是x吨，则甲种杂交水稻的亩产量1.2 x吨，根据总产量除以单产量=面积及A块试验田比B块试验田少10亩，列出方程即可.
13．（2021八上·巨野期中）若 的值为 ，则 的值为 ．
【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ 的值为 ，即
∴
∴
故答案为：1
【分析】根据题意可得，化简可得，再将原式变形为即可。
阅卷人 三、解答题（共16分）
得分
14．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元：
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于4900元．那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
由题意可得：，
解得，，
经检验是所列方程的根，且符合题意，
此时．
答：篮球的单价为90元，足球的单价为60元；
（2）解：设采购篮球m个，则采购足球为个，
由题意得，，
解得：，
又∵篮球多于40个，
∴，
∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球41个，采购足球19个；
方案二：采购篮球42个，采购足球18个；
方案三：采购篮球43个，采购足球17个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，由题意：购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，列出分式方程，解方程即可。在列分式方程解应用题时，正确列分式方程是关键。
（2）设采购篮球m个，则采购足球为（60-m）个，根据总费用低于4900元，列出一元一次不等式，解不等式，求出m的范围，再根据题意： 并要求篮球多于40个，进一步确定m的范围从而求出整数解即可。
15．（2024八上·毕节期末） 已知，关于的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求为何值时分式方程无解；
（3）若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】（1）解：把，代入分式方程 中，
得，
方程两边同时乘，
，
，
，
，
检验：把 代入，
所以原分式方程的解是．
（2）解：把代入分式方程 得，
方程两边同时乘，
，
，
，
当时，即，方程无解；
当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程 无解．
（3）解：把代入分式方程 中，得：，
方程两边同时乘，
，
整理得：，
，
，且为正整数，为整数，
必为的因数，，
，
的因数有、、、、、、、，
但、、小于，不合题意，故可以取、、、、这五个数．
对应地，方程的解为、、、、，
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取、、、，
所以满足条件的可取、、、这四个数．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）把a、b的值代入方程中，再解分式方程并检验即可；
（2）把a的值代入方程中，再解关于x的方程。无解有两种情况：一是整式方程无解，二是解为增根；
（3）把a=3b代入方程中，解关于x的方程，利用整除性、结合增根求解。
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.3分式方程（三阶）
阅卷人 一、选择题（每题3分）
得分
1．（2024八上·东安期末）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2019八上·威海期末）某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（ ）
A．40分钟 B．60分钟 C．80分钟 D．100分钟
3．（2024八上·广水期末）某公司准备铺设一条长的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快，结果提前天完成任务设原计划每天铺设道路，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·雨花期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．（2021八上·江津期末）若数 使关于 的分式方程 的解为非负数，且使关于 的不等式组 的解集为 ，则符合条件的所有整数 的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2024八上·重庆市期末）设为正整数，则存在正整数和，使得，则、的值分别为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
7．（2023八上·大名月考）老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围．嘉嘉的解答为．淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，a还有一个限制条件．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，限制条件是
B．淇淇说的不对，答案就是
C．嘉嘉的解答不对，应该是
D．淇淇说的对，限制条件是
8．（2022八上·高青期中）在计算÷时，把运算符号“÷”看成了“+”，计算结果是m，则这道题的正确的结果是（ ）
A． B． C．m-1 D．m
阅卷人 二、填空题（每题2分）
得分
9．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
10．（2020八上·兖州期末）某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
11．（2022八上·呈贡月考）若关于x的分式方程无解，则 ．
12．（2022八上·南宁期末）“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平培育的杂交水稻解决了全球多个国家的温饱问题.某试验基地现有、两块试验田，分别种植甲、乙两种杂交水稻，今年两块实验田分别收获了24吨和30吨水稻.已知甲种杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的1.2倍，块试验田比块试验田少10亩，设乙种杂交水稻的亩产量是吨，则可列得的方程为 .
13．（2021八上·巨野期中）若 的值为 ，则 的值为 ．
阅卷人 三、解答题（共16分）
得分
14．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元：
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于4900元．那么有哪几种购买方案？
15．（2024八上·毕节期末） 已知，关于的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求为何值时分式方程无解；
（3）若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
两边同乘得：，
方程有增根，
将代入上式得：，
a=3.
故答案为：B.
【分析】根据解分式方程的一般步骤先去分母，再将增根代入即可解得a 的值.
2．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙单独完成需要x分钟，
由题意可知：20( + )+ ＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
故答案为：C.
【分析】根据“工作效率 工作时间=工作总量”列出方程解决即可.
3．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设道路，则实际每天铺设道路为（1+10%）xm，
依题意得： .
故答案为：A.
【分析】设原计划每天铺设道路，则实际每天铺设道路为（1+10%）xm，根据工作总量除以工作效率=工作时间分别表示出原计划及实际的工作时间，进而根据“ 提前天完成任务 ”列出方程即可.
4．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母，得：m-2=x+1，
∴x=m-3，
∵的解为负数，
∴m-3＜0，且x+1≠0，
∴m＜3，且m≠2.
故答案为：D。
【分析】首先解分式方程，求得方程的解x=m-3，然后根据题意，得出m-3＜0，且x+1≠0，解得m的取值范围即可。
5．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：分式方程 ，得 ，
∵分式方程 的解为非负数，
∴ ，
解得a 5，a≠2
∵关于 的不等式组 ，得 ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
∴ ，且a 2，
∴整数a为：-2、-1、0、1、3、4、5，共有7个，
故答案为：C.
【分析】根据分式方程 的解为非负数求得a 5，a≠2，根据不等式组的解集为 ，求得 ，即可得到a的取值范围 ，且a 2，根据整数的意义得到a的整数值.
6．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；解分式方程
【解析】【解答】解：两边同时乘以a2-b，得：
，
两边同时加上a2-b，得：
，
即，
∵x、a、b都是正整数，
∴a-1=a2-b，a-1=x+1，
∴a=x+2，b=a2-a+1=(x+2)2-(x+2)+1=x2+3x+3.
故答案为：A。
【分析】去分母得，两边同时加上，整理后因式分解得到，根据等式恒成立的条件列出方程，可求出a，b的值。
7．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
去分母，得：x-3=2(x-1)+a，
去括号，得：x-3=2x-2+a，
移项，合并同类项，得：-x=a+1，
系数化成1，得：x=-a-1，
∵若关于x的分式方程的解为正数，
∴-a-1＞0，
∴，
又 x-1≠0，
∴-a-1-1≠0，
∴a≠-2.
故答案为：A。
【分析】根据分式方程有解的条件，最简公分母不等于0，即可得到限制条件。
8．【答案】D
【知识点】分式的乘除法；解分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
+=m，
方程两边同时乘以m+1，得m2+=m（m+1），
解得=m，
∴÷=÷=m，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出方程+=m，求出=m，再求解即可。
9．【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
10．【答案】13
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设制作课桌的工人为 名，则制作椅子的工人有 名，
则制作 把椅子所需时间 ，
制作 张课桌所用的时间为 ，
令 ，
当 值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，
当 时，即 ，
解得 不符合实际，
当 时， ，
当 时， ，
即当 时，完成此项工作时间最短．
故答案是：13．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
11．【答案】或3或
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边都乘，得
，
化简得，得：，
当时，方程无解；
当时，分母为零，分式方程无解，
把代入整式方程，；
把代入整式方程，得；
综上可得：或3或．
故答案是：或3或．
【分析】分式方程无解分两种情况分析：（1）原方程存在增根；（2）原方程去掉分母后，整式方程无解.
12．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙种杂交水稻的亩产量是x吨，则甲种杂交水稻的亩产量1.2 x吨，
根据题意得 ，
故答案为：.
【分析】设乙种杂交水稻的亩产量是x吨，则甲种杂交水稻的亩产量1.2 x吨，根据总产量除以单产量=面积及A块试验田比B块试验田少10亩，列出方程即可.
13．【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ 的值为 ，即
∴
∴
故答案为：1
【分析】根据题意可得，化简可得，再将原式变形为即可。
14．【答案】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
由题意可得：，
解得，，
经检验是所列方程的根，且符合题意，
此时．
答：篮球的单价为90元，足球的单价为60元；
（2）解：设采购篮球m个，则采购足球为个，
由题意得，，
解得：，
又∵篮球多于40个，
∴，
∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球41个，采购足球19个；
方案二：采购篮球42个，采购足球18个；
方案三：采购篮球43个，采购足球17个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，由题意：购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，列出分式方程，解方程即可。在列分式方程解应用题时，正确列分式方程是关键。
（2）设采购篮球m个，则采购足球为（60-m）个，根据总费用低于4900元，列出一元一次不等式，解不等式，求出m的范围，再根据题意： 并要求篮球多于40个，进一步确定m的范围从而求出整数解即可。
15．【答案】（1）解：把，代入分式方程 中，
得，
方程两边同时乘，
，
，
，
，
检验：把 代入，
所以原分式方程的解是．
（2）解：把代入分式方程 得，
方程两边同时乘，
，
，
，
当时，即，方程无解；
当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程 无解．
（3）解：把代入分式方程 中，得：，
方程两边同时乘，
，
整理得：，
，
，且为正整数，为整数，
必为的因数，，
，
的因数有、、、、、、、，
但、、小于，不合题意，故可以取、、、、这五个数．
对应地，方程的解为、、、、，
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取、、、，
所以满足条件的可取、、、这四个数．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）把a、b的值代入方程中，再解分式方程并检验即可；
（2）把a的值代入方程中，再解关于x的方程。无解有两种情况：一是整式方程无解，二是解为增根；
（3）把a=3b代入方程中，解关于x的方程，利用整除性、结合增根求解。
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