2024年北京五中高一（上）期中数学（PDF版，无答案）

2024北京五中高一（上）期中
数 学
一、单选题（共 10小题，每小题 4分，共 40分）
1.已知集合 A = x x 0 ， B = x x 3 ，则 A ( R B) =（ ）
A. (0,+ ) B. 0,+ ) C. ( ,3 D. (3,+ )
2.命题“ x Z ， x 0 ”的否定是（ ）
A. x Z ， x 0 B. x Z ， x 0
C. x Z， x 0 D. x Z， x 0
3.已知 a b ， c d ，则下面不等式一定成立的是（ ）
A. a + d b + c B. a + d b + c C. a d b c D. a d b c
4.“ x 1”是不等式 (x +1)(x 1) 0成立的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知定义在R 上的偶函数 f ( x)在 ( , 0 上是增函数，且 f ( 1) = 0, 则使 f (x) 0 的 x的范围是
（ ）
A. ( 1,0) B. (0,1) C. ( 1,1) D. ( , 1) (1,+ )
(a 3) x + 5, x 1

6.已知函数 f (x) = 2a 是 ( ,+ )上的减函数，则 a的取值范围是（ ）
, x 1
x
A. (0, 2) B. (0,2 C. (0,3) D. (0,3
7.如图所示，点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动，设M 是CD边的中点，则当点 P 沿着 A B C M
运动时，以点 P 经过的路程 x为自变量，三角形 APM 的面积函数的图象形状大致是（ ）
8.如图所示，4 个长为a，宽为b 的长方形拱成一个正方形 ABCD，中间围成一个小正方形 A1B1C1D1，则
下面说法错误的是（ ）
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2
A. (a + b) 4ab B.当 a = b 时， A1， B1，C1 ， D1 四点重合
2 2 2
C. (a b) 4ab D. (a +b) (a b)
9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 3000 英里游回它们的出生地产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v
1 a
（单位：m/s ）可以表示为 v = log ，其中 a表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为2m/s 时3
2 100
的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）
A.8100 B.81 C.900 D.9
10.奇函数 f ( x)和偶函数 g (x)的图象分别如图 1、图 2 所示，方程 f g (x) = 0 和 g f (x) = 0 的实根
个数分别 a，b 则 a + b =（ ）
A.3 B.7 C.10 D.14
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25分）
1
11.函数 y = 的定义域为______.
1 x
12.函数 f ( x)是定义在R 上的函数，且 f (1+ x) = f (1 x)，若 x 1,+ )， f (x) = f (0) = ______.
13.已知函数 f ( x)同时满足：①定义域是实数集R 的一个子集；②是非奇非偶函数；③有最大值而无最小
值.则满足条件的函数 f ( x) = ______（写出满足条件的一个函数即可）
14.农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为 8 块面积相等的区域（除了种植密度，
其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第______号区域的总产量最大，该区域种植密度为______株 /m .
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2x 1
15.对于函数 f (x) = ，下列说法正确的是______.（写出所有正确命题的序号）
2x +1
( )
2 2
①函数 f x 为奇函数； ②函数 f ( x)的值域为 , ；
3 3
③函数在定义域上为增函数； ④对于 a R ，均有 f (a +1) f (a 1) .
三、解答题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题 12 分）计算：
1
1 3 3
（Ⅰ） 6 + 3
3
+ 125 ；
4 8
（Ⅱ） log4 3 log9 2 log1 32 ；
2
3
2
0 16 4
（Ⅲ） 27 3
log
3 3
2
( 3 +1) .
81
17.（本小题 15 分）已知关于 x的不等式 (ax 1)(x 2) 2的解集为 A ，且3 A .
（Ⅰ）求实数 a的取值范围；
（Ⅱ）求集合 A .
x x x
18.（本小题 13 分）函数 f (x) = 4 + 2 + a ， g (x) = 2 .
（Ⅰ）若 f ( x)过点 (0,3)，求 a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 x 0,1 ，求 f ( x)的最大值；
（Ⅲ）若 y = f (x)图象恒在 y = g (x)图象的上方，求实数 a的取值范围.
ax2 +b 5
19.（本小题 15 分）已知函数 f (x) = ，且 f (1) = 2 ， f (2) = .
x 2
（Ⅰ）确定函数 f ( x)的解析式，并判断奇偶性；
（Ⅱ）用定义证明函数 f ( x)在区间 ( , 1)上单调递增；
（Ⅲ）求满足 f (1+ 2t2 ) f (3+ t2 ) 0的实数 t 的取值范围.
20.（本小题 15 分）若函数 f ( x)对于其定义域内的某一数 x0 ，有 f (x0 ) = x0 ，则称 x f x0 是 ( )的一个不
f (x) = ax2动点.已知函数 + (b +1) x +b 1（ a 0）.
（Ⅰ）当 a =1，b = 2时，求函数 f ( x)的不动点；
（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数 f ( x)恒有两个相异不动点，求 a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若 y = f (x)图象上两个点 A 、 B 的横坐标是函数 f ( x)的不动点 A 、 B 的中
a
点C 在函数 g (x) = x + 的图象上，求b 的最值
5a2 4a +1
21.（本小题 15 分）设 A 是正整数集的非空子集，称集合 B = u v u,v A,且u v 为集合 A 的生成集.
（Ⅰ）当 A = 1,3,6 时，写出集合 A 的生成集 B ；
（Ⅱ）若 A 是由 5 个正整数构成的集合，求其生成集 B 中元素个数的最小值；
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（Ⅲ）判断是否存在 4 个正整数构成的集合 A ，使其生成集 B = 2,3,5,6,10,16 ，并说明理由.
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