第三章 勾股定理综合测试卷（含答案）
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第三章综合测试卷
时间: 45分钟 满分: 100分
一、选择题(每题3分，共30分)
1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.64
2.已知在△ABC中, 的对边分别是a，b，c.下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是( )
3.如图是在正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC 是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
第3题图 第4 题图
4.一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18 m，倒下后树顶落在距树根部大约12 m处，这棵大树离地面约几米处折断 ( )
A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
5.如图所示，点 E 在正方形ABCD 内，满足 6，BE=8，则阴影部分的面积是 ( )
A.48 B.60 C.76 D.80
6.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位： mm)，计算两圆孔中心 A 和B 的距离为( )
A.90 mm B.100 mm C.120 mm D.150 mm
第6题图 第7题图
7.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 A，C，D的面积依次为4，6，18，则正方形 B的面积为 ( )
A.8 B.9 C.10 D.12
8.如图，一根长10米的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，这时AO长8米，当木棒A 端沿墙下滑至点A'时，B端沿地面向右滑行至点. 若 米，则 的长为( )
A.1米 B.1.5米 C.3米 D.2米
第8题图 第9题图
9.如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4 m， m和 A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 ( )
10.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)a的取值范围是 ( )
二、填空题(每题4分，共24分)
11.如图所示,OC 为 的平分线， 4,则点 C 到射线OA 的距离为___________.
第11题图 第12题图
12.一个游泳爱好者要横跨一条宽. 的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了 这位游泳爱好者在横跨河流的实际游泳距离为__________m.
13.如图,长方体的底面边长分别为1 cm 和 3c m,高为6 cm.如果用一根细线从点 A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要__________ cm.
第13题图 第14题图
14.如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与 DE一样长，已知滑梯的高度CE 为3 米，BC 为1 米.则滑道 BD的长度为_____________.
15.已知,在 中， ，一只蜗牛从C点出发,以每分钟 20cm 的速度沿 CA→AB→BC的路径爬行再回到C 点，需要的时间是_________分钟.
16.如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16 cm，在容器内壁离容器底部4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿 4 cm 的点 A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为________.
三、解答题(共46分)
17.(8分)如图1,将长为 ，宽为2a 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2)，得到大小两个正方形.
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少
18.(8分)在等边中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,若∥过点E作交 BC的延长线于点F,求 的值.
19.(10分)如图，在笔直的公路 AB 旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路AB 上的D 处开凿隧道修通一条公路到 C 处，已知点 C 与公路上的停 靠站 A 的距离为15 km,与公路上另一停靠站 B 的距离为 20km,停靠站 A,B之间的距离为25 km，且
(1)求修建的公路CD的长；
(2)若公路CD 修通后，一辆货车从 C 处经过点D 到B 处的路程是多少
20.(10分)周末，小明和小亮去公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 BD 的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降7 米，则他应该往回收线多少米
21.(10分)如图,在边长为6 的正方形 ABCD中,E 是边CD 的中点，将 沿AE 折叠至 延长 EF 交 BC 于点G,连接AG,且 AG平分
(1)试说明:
(2)求 BG 的长.
参考答案
1. D 2. C 3. A 4. C 5. C 6. D 7. A 8. D 9. C 10. A
11. 3 12. 10 13. 10 14. 5 米 15. 12
16. 24 cm 解析:如图,将圆柱展开,EG为上底面圆周长的一半.作A 关于EG 的对称点. 连接 交EG 于 F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为.
延长 BG,过 作 于点 D,
因为 所以
在 中，由勾股定理，得
所以 所以该圆柱底面周长为 24 cm.
17.解：(1)因为直角三角形较短的直角边
较长的直角边 所以小正方形的边长
(2)小正方形的面积
当 时，小正方形的面积
18.解：因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠ACB=60°.
因为 DE∥AB,所以∠EDC=∠B=60°,所以△EDC是等边三角形,所以DE=DC=2.
在 Rt△DEF中,因为∠DEF=90°,所以∠F=30°,
因为DE=2,所以DF=2DE=4,所以
19.解:(1)因为所以
所以△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,
因为 所以
故修建的公路CD 的长是12 km；
(2)在 Rt△BCD中,由勾股定理,得
所以CD+BD=12+16=28( km).
所以货车从 C处经过点 D 到 B 处的路程是28 km.
20.解:(1)由题意可知 BD=12米,CD⊥BD,AB=DE=1.65米,
在 Rt△CDB中,由勾股定理,得所以CD=16,
所以CE=CD+DE=16+1.65=17.65(米),
答：风筝的垂直高度 CE为17.65米；
(2)因为风筝沿 CD方向下降7 米，DE 保持不变，如图，
所以此时的 (米),
在 中,BD=12米,由勾股定理，得
所以 相比下降之前,BC 缩短长度为 20-15 =5(米),
所以他应该往回收线5米.
21.解:(1)在正方形 ABCD中,AD=AB=BC=CD,∠D=∠B=∠C=90°,
因为将△ADE 沿 AE 折叠至△AFE,所以AD=AF,DE=FE,∠D=∠AFE=90°,
所以AB=AF,∠B=∠AFG=90°.
又因为 AG 平分∠BAF, 所以∠BAG =∠FAG,所以△ABG≌△AFG(ASA);
(2)因为△ABG≌△AFG,所以 BG=FG.
设 BG=FG=x,则GC=6-x,
因为 E为CD 的中点，所以CE=DE=EF=3,所以EG=3+x,
所以在 Rt△CEG中,
解得x=2,所以 BG=2,
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第三章综合测试卷
时间: 45分钟 满分: 100分
一、选择题(每题3分，共30分)
1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.64
2.已知在△ABC中, 的对边分别是a，b，c.下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是( )
3.如图是在正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC 是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
第3题图 第4 题图
4.一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18 m，倒下后树顶落在距树根部大约12 m处，这棵大树离地面约几米处折断 ( )
A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
5.如图所示，点 E 在正方形ABCD 内，满足 6，BE=8，则阴影部分的面积是 ( )
A.48 B.60 C.76 D.80
6.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位： mm)，计算两圆孔中心 A 和B 的距离为( )
A.90 mm B.100 mm C.120 mm D.150 mm
第6题图 第7题图
7.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 A，C，D的面积依次为4，6，18，则正方形 B的面积为 ( )
A.8 B.9 C.10 D.12
8.如图，一根长10米的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，这时AO长8米，当木棒A 端沿墙下滑至点A'时，B端沿地面向右滑行至点. 若 米，则 的长为( )
A.1米 B.1.5米 C.3米 D.2米
第8题图 第9题图
9.如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4 m， m和 A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 ( )
10.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)a的取值范围是 ( )
二、填空题(每题4分，共24分)
11.如图所示,OC 为 的平分线， 4,则点 C 到射线OA 的距离为___________.
第11题图 第12题图
12.一个游泳爱好者要横跨一条宽. 的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了 这位游泳爱好者在横跨河流的实际游泳距离为__________m.
13.如图,长方体的底面边长分别为1 cm 和 3c m,高为6 cm.如果用一根细线从点 A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要__________ cm.
第13题图 第14题图
14.如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与 DE一样长，已知滑梯的高度CE 为3 米，BC 为1 米.则滑道 BD的长度为_____________.
15.已知,在 中， ，一只蜗牛从C点出发,以每分钟 20cm 的速度沿 CA→AB→BC的路径爬行再回到C 点，需要的时间是_________分钟.
16.如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16 cm，在容器内壁离容器底部4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿 4 cm 的点 A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为________.
三、解答题(共46分)
17.(8分)如图1,将长为 ，宽为2a 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2)，得到大小两个正方形.
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少
18.(8分)在等边中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,若∥过点E作交 BC的延长线于点F,求 的值.
19.(10分)如图，在笔直的公路 AB 旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路AB 上的D 处开凿隧道修通一条公路到 C 处，已知点 C 与公路上的停 靠站 A 的距离为15 km,与公路上另一停靠站 B 的距离为 20km,停靠站 A,B之间的距离为25 km，且
(1)求修建的公路CD的长；
(2)若公路CD 修通后，一辆货车从 C 处经过点D 到B 处的路程是多少
20.(10分)周末，小明和小亮去公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 BD 的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降7 米，则他应该往回收线多少米
21.(10分)如图,在边长为6 的正方形 ABCD中,E 是边CD 的中点，将 沿AE 折叠至 延长 EF 交 BC 于点G,连接AG,且 AG平分
(1)试说明:
(2)求 BG 的长.
参考答案
1. D 2. C 3. A 4. C 5. C 6. D 7. A 8. D 9. C 10. A
11. 3 12. 10 13. 10 14. 5 米 15. 12
16. 24 cm 解析:如图,将圆柱展开,EG为上底面圆周长的一半.作A 关于EG 的对称点. 连接 交EG 于 F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为.
延长 BG,过 作 于点 D,
因为 所以
在 中，由勾股定理，得
所以 所以该圆柱底面周长为 24 cm.
17.解：(1)因为直角三角形较短的直角边
较长的直角边 所以小正方形的边长
(2)小正方形的面积
当 时，小正方形的面积
18.解：因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠ACB=60°.
因为 DE∥AB,所以∠EDC=∠B=60°,所以△EDC是等边三角形,所以DE=DC=2.
在 Rt△DEF中,因为∠DEF=90°,所以∠F=30°,
因为DE=2,所以DF=2DE=4,所以
19.解:(1)因为所以
所以△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,
因为 所以
故修建的公路CD 的长是12 km；
(2)在 Rt△BCD中,由勾股定理,得
所以CD+BD=12+16=28( km).
所以货车从 C处经过点 D 到 B 处的路程是28 km.
20.解:(1)由题意可知 BD=12米,CD⊥BD,AB=DE=1.65米,
在 Rt△CDB中,由勾股定理,得所以CD=16,
所以CE=CD+DE=16+1.65=17.65(米),
答：风筝的垂直高度 CE为17.65米；
(2)因为风筝沿 CD方向下降7 米，DE 保持不变，如图，
所以此时的 (米),
在 中,BD=12米,由勾股定理，得
所以 相比下降之前,BC 缩短长度为 20-15 =5(米),
所以他应该往回收线5米.
21.解:(1)在正方形 ABCD中,AD=AB=BC=CD,∠D=∠B=∠C=90°,
因为将△ADE 沿 AE 折叠至△AFE,所以AD=AF,DE=FE,∠D=∠AFE=90°,
所以AB=AF,∠B=∠AFG=90°.
又因为 AG 平分∠BAF, 所以∠BAG =∠FAG,所以△ABG≌△AFG(ASA);
(2)因为△ABG≌△AFG,所以 BG=FG.
设 BG=FG=x,则GC=6-x,
因为 E为CD 的中点，所以CE=DE=EF=3,所以EG=3+x,
所以在 Rt△CEG中,
解得x=2,所以 BG=2,
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