上海市六校2016届高三3月综合素养调研数学理试题（含答案）

2015学年高三六校综合素养调
数学（理科）
一、填空题（本大题满分56分）
1、复数的模为
2、函数的最小正周期为
3、抛物线的准线方程为
4、在的二项展开式中，项的系数为
5、已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经，北纬，台北的位置约为东经，北纬，则两个城市之间的球面距离约为 千米（结果精确到1千米）
6、直线的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则直线的倾斜角为
7、已知，则
8、已知递增的等差数列的公差为，又这5个数列的方差为3，则
9、已知直线经过点，且被圆截得的弦长为，则这条直线的方程为
10、设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间上的图象为如图所示的线段AB，则方程的最大实数根的值为
11、等比数列的公比为，前n项和为，且满足，，给出以下四个命题：①；②；③为的最大值；④使成立的最大的正整数4031，则其中正确的命题序号为
12、已知为空间三个向量，又是两个相互垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意实数，的最小值为
13、在极坐标下，定义两个点和的“极坐标中点“为，设点A、B的极坐标为与，设M为线段AB的质点，N为点A、B的”极坐标中点“，则线段MN的长度的平方为
14、先阅读参考擦亮，再解决此问题：
参考材料：求抛物线弧与轴及直线所围成的封闭图形的面积
解：把区间进行等分，得个分点，过分点，作轴的垂线，角抛物线于，并如图构造个矩形，先求出个矩形的面积和，再求，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第个矩形的高为，所以第个矩形的面积为；
所以封闭图形的面积为
阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n，
不等式恒成立，
则实数的取值范围为
二、选择题
15、函数是实数集R上的偶函数，且在上是单调递增函数，若，则实数的取值范围是
A． B．或 C． D．
16、复数满足，则的最小值为
A． B． C． D．
17、给定正三棱锥P-ABC，M点为底面 ( http: / / www.21cnjy.com )正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为
A．椭圆的一部分 B．一条线段 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
18、某年数学竞赛请例以为来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n中，则n的值为
A．512 B．511 C．1024 D．1023
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19、（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，且。
（1）求的值；
（2）若，且，求的值。
20、（本小题满分12分）
在长方体中，，求：
（1）顶点到平面的距离；
（2）二面角的大小（结果用反三角表示）
21、（本小题满分14分）
已知，且
（1）当时，请写出的单调递减区间；
（2）当时，设对应的自变量取值区间的长度为（闭区间的长度定义为）求关于的表达式，并求出的取值范围。
22、（本小题满分16分）
已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，为坐标原点，且直线的斜率之积为，求证：为定值；
（3）直线过点且与椭圆交于两点，问在轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由。
23、（本小题满分12分）
已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当时，该图象是斜率为的线段，其中常数且，数列由定义。
（1）若，求；
（2）求的表达式及的解析式（不必求的定义域）；
（3）当时，求的定义域，并证明的图象与的图象没有横坐标大于1的公共点。
参考答案
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