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2024~2025学年第一学期高二期中调研试卷
数学
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】C
7.
【答案】A
8.
【答案】B
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9.
【答案】AC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】BCD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.
12.
【答案】或
13.
【答案】
14.
【答案】
四 解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）计算出等差数列的首项和公差，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
依题意，，
，解得，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以
，
两式相减得
，
所以.
16.
【解析】
【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程；
（2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为，再利用点斜式求直线方程；
（3）对于求的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为，求出，再利用点斜式求出直线方程.
【小问1详解】
首先求BC中点坐标，已知，
根据中点坐标公式，BC中点，
已知中线过和两点，根据两点式，
即，化简得，整理得.
【小问2详解】
先求BC边的斜率，已知，
根据斜率公式，
因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得，
又因为高过点，根据点斜式，整理得.
【小问3详解】
先求AB边的斜率，BC边的斜率，
设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简
交叉相乘得，
继续化简，即或，
继续化简（舍去），或，即，
因为角平分线的斜率应该在和之间，所以，
又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得.
17.
【解析】
【分析】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值.
（2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
【小问2详解】
∵，
∴得到，∴，
则代入①得：，
则
∴，
且，
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
∴，
∴
18.
【解析】
【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；
（2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解；
（3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明.
【小问1详解】
因为，所以，直线的方程为，
设圆心到直线的距离为，则，
所以
【小问2详解】
取的中点为，如图，
假设存在弦被点三等分，设，，则，
，解得，
当斜率不存在时，，故斜率存在，
设斜率为，则：，
，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为.
【小问3详解】
由题意知，,
当直线斜率不存在时，，，
不妨取，
则，此时
直线斜率存在时，设方程为，
代入圆的方程可得，
设，则，
又，
所以
综上，为定值.
19.
【解析】
【分析】（1）设坐标，利用向量的坐标表示结合等差数列的通项公式计算即可；
（2）设坐标，利用向量共线的充要条件及数量积的坐标表示消元计算即可；
（3）根据直线与圆的位置关系计算切线方程得出的坐标，再利用放缩法计算和即可.
【小问1详解】
设，则由题意可知，
所以，即分别成公差为1的等差数列，
由已知，
则，即，所以；
【小问2详解】
设，即，
因为共线，且满足，
则有，
当时，易知，即，
此时，
即，
当时，解方程组可得，也满足上式，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
圆心和半径；
【小问3详解】
由（2），解方程得，
则，
所以处的切线方程斜率为，
则切线方程为，
令得，即，
易知，
则
，证毕.
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第7页2024~2025学年第一学期高二期中调研试卷
数学
注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题） 多项选择题（第9题~第11题） 填空题（第12题~第14题） 解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. 等差数列中，，则的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3. 已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（ ）
A. B. 或4 C. 4 D. 5
5. 若两直线平行，则实数取值集合是（ ）
A. B. C. D.
6. 等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（ ）
A. 9 B. 11 C. 13 D. 不能确定
7. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. 8 D.
8. 已知数列的前项和为，且则的值为（ ）
A. 1023 B. 1461 C. 1533 D. 1955
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知数列是等差数列，是等比数列，.（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，则（ ）
A. 点在同一条直线上
B. 点在同一条直线上
C. 点在同一条直线上
D. 点（均为正整数，且为常数）在同一条直线上
11. 已知直线，圆，则（ ）
A. 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4
B. 若与圆相交于两点，且，则
C. 若圆上恰有四个点到的距离为1，则
D. 若对于两个不同的值，与圆分别相切于点，，则所在直线的方程是
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.
12. 已知两点到直线的距离相等，则的值为__________.
13. 已知等比数列满足，则__________.
14. 如图，已知点，点为圆上动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 已知三个顶点是，求：
（1）边上中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在直线的方程；
（3）的角平分线所在直线的方程.
17. 已知数列满足且.
（1）求；
（2）证明数列是等比数列，并求.
18. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
19. 已知点，向量，点在一条直线上，且满足.
（1）求；
（2）证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径；
（3）过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证：.
