2024-2025学年江苏省南通市海安市高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市海安市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若经过，两点的直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
2.若直线：与：平行，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的首项为，公差为，则数列的前项和的最大值为( )
A. B. C. D. 不存在
5.已知双曲线的离心率为，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
6.如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为( )
A. B.
C. D.
7.已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则( )
A. B. C. D.
8.已知是圆：的一条弦，，是的中点当弦在圆上运动时，直线：上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 斜率之积为的两直线相互垂直
C. 在两坐标轴上截距相等的直线斜率为
D. 直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线
10.下列四个命题中，正确的是( )
A. 要唯一确定圆，只需给出圆上三点
B. 要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线
C. 要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点
D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点
11.设数列的前项和为，则数列为常数列各项均为同一个常数的数列的一个充分条件是( )
A.
B.
C.
D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：，试写出一个半径为，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：______．
13.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和已知数列是等和数列，，，则公和为______．
14.已知抛物线：的焦点为，为圆：上的动点，点，则 ______；若为上的动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线：相交于点，．
若直线的斜率为，求；
求证：．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列．
17.本小题分
已知为圆：上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为．
求的方程；
过点作直线与轴不重合与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程．
18.本小题分
已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且．
求的方程；
若直线的斜率为，求直线的斜率；
若四边形的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
记等差数列的前项和为，公差为．
证明：是关于的不含常数项的二次函数；
等差数列的公差为，且．
求的通项公式；
记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
11.
12.或写其中一个即可
13.
14.
15.解：已知直线的斜率为，过点，
则直线的方程为，
联立，
消可得：，
显然，
设，，
则，，
则；
证明：设直线的方程为，
联立，
得，
显然，
设，，
则，，
则，
即，
即．
16.解：因为等差数列的前项和为，，．
设公差为，
则，解得，
所以；
证明：由可得，
所以，
所以，，，
由，，成等差数列，可得，解得或，
当时，，可得，故为等差数列；
当时，，可得，故为等差数列．
17.解：由题意可知：：的圆心为，半径为，且，
则，
可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
则，所以的方程为；
因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，
设直线：，，，则，
联立方程，消去可得，
则，
又因为，
若，则，即，
可得，解得，
所以的方程为，即．
18.解：由题意可知：，解得，
所以双曲线的方程为．
由可知：，，
设直线：，，，
联立方程，消去可得，
则，可得，，
因为，，
若，则，
即，整理可得，
又因为，
可得，解得，
此时即为，解得或舍去，
此时，即，
所以直线的斜率．
，，
则，
设直线的倾斜角为，则，
可得，解得．
同理可得，
此时梯形的高为，
可知梯形的面积
．
整理可得，解得舍去，
可知或，则直线的斜率，
所以直线的方程，．
19.解：证明：因为等差数列的公差为，
由题意可得，
则二次项系数，且常数项为，
所以是关于的不含常数项的二次函数．
由题意可知：，
即
，
可得，
解得，或，
若，，，
若，则，，
综上所述：或；
因为，
，时，
若，，则，不合题意；
，时，
若为偶数，则
，
因为为偶数，则或，，
若，，则，即，不合题意；
若，
则，
整理可得，
可知，，，代入检验可得仅，，成立；
若为奇数，则
，
因为为奇数，则或，，
若，，则，即，不合题意；
若，，则，
整理可得，
显然为偶数，方程无解，不合题意；
综上所述：，．
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