2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则在上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
2.平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
3.设、分别是事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是( )
A.
B. 若、是互斥事件，则
C.
D. 若、是独立事件，则
4.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则( )
A.
B.
C.
D.
5.在样本频率分布直方图中共有个小矩形，若其中个小矩形的面积等于其他个小矩形面积和的，且样本容量为，则该组的频数为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，则为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，其上有两点，，若的中点为，满足的斜率等于，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.半径为的光滑半球形碗中放置着个半径为的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程为实数表示的曲线，则( )
A. 曲线不可能表示一个圆 B. 曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C. 曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D. 曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
10.如图，在四棱锥中，平面平面，，，若，，，为棱的中点，则下列说法正确的有( )
A. 平面
B. 二面角的余弦值为
C. 二面角的正弦值为
D. 若在线段上存在点，使得点到平面的距离是，则的值为
11.已知，则下列说法正确的有( )
A. 若，则的最大值为
B. 若，则的最大值为
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
12.已知抛物线：，过焦点的直线与交于，两点，，与关于原点对称，直线与直线的倾斜角分别是与，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.对任意的实数，圆：上一点到直线的距离的取值范围为______．
14.已知个人独立解决某问题的概率均为，且互不影响，现将这个人分为一组，若解决这个问题概率超过，则的最小值是______．
15.把椭圆的长轴分为等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于个点，是椭圆的个焦点，则这个点到的距离之和为______．
16.如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，，分别为线段不含端点和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了个轮胎，将每个轮胎的宽度单位：记录下来并绘制出折线图：
分别计算甲、乙两厂提供个轮胎宽度的平均值；
轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、乙两厂分别提供的个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好．
18.本小题分
已知圆：，两点，．
若，直线过点且被圆所截的弦长为，求直线的截距式；
动点满足，若的轨迹与圆有公共点，求半径的取值范围．
19.本小题分
设动点到两定点和的距离分别为和，，使得．
证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
经过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，，为坐标原点，求的取值范围．
20.本小题分
如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段的中点，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的余弦值．
21.本小题分
已知圆的方程，，，抛物线过，两点，且以圆的切线为准线．
求抛物线焦点的轨迹的方程；
已知，设轴上一定点，过的直线交轨迹于，两点，求证：为定值．
22.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴左侧，，分别为，的中点，且直线过定点．
求抛物线：的方程；
设为直线与直线的交点；
证明在定直线上；
求面积的最小值．
参考答案
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17.解：根据题意，甲厂生产的轮胎宽度的平均值为：
，
乙厂生产的胎宽度的平均值为：
．
甲厂生产的轮胎宽度都在内的数据为，，，，，，
平均数为，
方差为：，
乙厂生产的轮胎宽度都在内的数据为，，，，，，，
平均数为，
方差为：，
从平均数上来看：乙厂提供的 个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定．
18.解：若时，圆：，可得圆心，
因为直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，不满足题意；
当直的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
所以直线方程为或，
综上可得，所求直线的方程为或；
因为动点满足，、，
所以，化简得，
所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因为的轨迹与圆有公共点，
所以，即，解得，
所以半径的取值范围
19.解：证明：在中，，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，焦距为，
所以，，
又，
所以双曲线方程为．
由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，，
，即，
，
因为，
所以，
所以或，
所以，，
所以的取值范围为
20.证明：过点作于，则，
在直角梯形中，，
所以，，，
所以，
所以，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
在矩形中，为线段的中点，，
所以，
所以，即，
又，、平面，
所以平面．
解：因为四边形为矩形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
由知，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，，
所以，
故直线与平面所成角的余弦值为．
21.解：如图，是圆的切线，分别过，，作直线的垂直，垂足分别为、、，
又是中点，则是直角梯形的中位线，，
设是以为准线的抛物线的焦点，则，，
所以，
所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，椭圆长轴长为，
，，则，，因此，
所以抛物线的焦点的轨迹方程为；
证明：由题意设直线的方程为，设，，
由，得，
，，
，
代入，
得为常数．
22.详解：易知直线，直线斜率均存在，且不为，设直线的方程，，
设，，，，
联立，整理可得：，
可得，，所以，
可得的中点，
同理可得的中点，
所以，
故直线为，
又直线过定点，
所以，
可得，即，
所以抛物线的方程为：；
证明：因为，，，，
又，
则直线的方程，
即直线的方程为，
同理可得直线的方程为，
由，解得，
又由知，，
即，
故点在定直线上；
过点作轴，交直线于点，则的面积为，
由，，知，当且仅当时取等号，
下证，
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，则，则点在轴左侧，点也在轴左侧，有，
又直线过定点，此时，
同理，当时，则，
则点在轴右侧，点也在轴右侧，有，
则，当且仅当时，，
，故恒成立．
所以，当且仅当时取等号．
即面积的最小值为．
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