2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线左，右焦点分别为，，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. 或 D.
6.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，，常数利用以上公式，可以估算的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知圆：与直线：，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据：，，，，，，，，，的平均数为，则( )
A.
B. 这组数据的中位数为
C. 若将这组数据每一个都加上，则所有新数据的平均数变为
D. 这组数据的第百分位数为
10.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，下面说法正确的是( )
A. ：：：： B. ：：：：
C. 是锐角三角形 D. 的最大内角是最小内角的倍
11.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，面，，点是棱上一点不包括端点，是平面内一点，则( )
A. 一定不存在点，使平面
B. 一定不存在点，使平面
C. 以为球心，半径为的球与四棱锥的侧面的交线长为
D. 的最小值
12.已知函数，的零点分别为，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过，两点的直线的斜率为______．
14.在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为______．
15.已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_____．
16.已知双曲线的右顶点，右焦点分别为，，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设函数；
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ求函数在上的最大值．
18.本小题分
如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求证：．
19.本小题分
树人中学从参加普法知识竞赛的同学中，随机抽取名同学将其成绩百分制，均为整数分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图如图，观察图形中的信息，回答下列问题：
Ⅰ补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；
Ⅱ如果确定不低于分的同学进入复赛，问这名参赛同学中估计有多少人进入复赛；
Ⅲ若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取人，再从这人中随机抽取人，求所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率．
20.本小题分
如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面平面．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求平面与平面所成锐角的余弦值．
21.本小题分
如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，且满足当点在圆上运动时，的轨迹为．
Ⅰ求曲线的方程；
Ⅱ点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得其中，，，，，，则称为的“重覆盖函数”．
Ⅰ判断，是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值：如果不是，说明理由．
Ⅱ若为的“重覆盖函数”，求实数的取值范围；
Ⅲ函数表示不超过的最大整数，如，，若，为，的“重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围无需解答过程．
参考答案
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17.解：Ⅰ ，
，最小正周期是；
Ⅱ，
，，
当，即时，取得最大值为．
18.解：Ⅰ因为，
所以，
所以，
所以；
证明：Ⅱ因为，
所以，
所以，
所以，即，所以．
19.解：Ⅰ组的频率为：
，
补全频率分布直方图为：
组对应的小矩形最高，
估计本次知识竞赛成绩的众数为．
Ⅱ由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：
，
这名参赛同学中估计进入复赛的人数为．
Ⅲ从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取人，
第一组，第二组和第六组的频率之比为：：，
第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人，
从这人中任选人，基本事件总数，
所抽取的人成绩之差的绝对值小于包含的基本事件个数，
所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率为．
20.解：Ⅰ证明：连接，
因为，，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以面，
因为面，
所以，
连接，在正方形中，，
因为，且，面，
所以面，
因为面，
所以．
Ⅱ由Ⅰ知，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系：
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由，
令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
由，
令，则，，
所以，
设平面与平面所成的锐角为，
即，
所以平面与平面所成的锐角的余弦值为．
21.解：Ⅰ设，由题意满足，则，而在圆上，
所以，
整理可得；
即曲线的方程为：；
Ⅱ存在定点满足条件，证明如下：
由Ⅰ可知为椭圆的右顶点，设直线的方程为，
令，可得，即，
联立，整理可得：，
可得，可得，，
即，
所以的中点，即，
设，因为，所以，
可得，
即，，
整理可得，即，
可得直线恒过定点．
即存在定点满足条件．
22.解：，，，，
由定义可得，对任意，恰好存在不同的实数，，使得，其中，，，，
即，可得，
所以对于任意，能找到一个，使得，
是的“重覆盖函数”，；
Ⅱ可得的定义域为，即对任意，存在个不同的实数，，
使得其中，，
，则，
，即，
即对任意，有个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有个根，
当时，，符合题意，
当时，，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，，，若仅有个根，由知，
当时，，所以无解，则只需，
解得，
综上，实数的取值范围是；
Ⅲ，
则对于任意，，要有个根，
，作出函数的图像，如图：
要使，有个根，则，
又，则，
故正实数的取值范围．
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