2023-2024学年湖北省十堰市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖北省十堰市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.直线：与圆：的公共点个数为( )
A. B. C. D. 不确定
4.数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.过点作圆：的两条切线，两条切线的夹角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
6.已知，点在平面内，则的坐标可以是( )
A. B. C. D.
7.已知是抛物线：的焦点，的准线与轴的交点为，点在上，且，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差为，且，，则( )
A. B. C. D.
10.点，到直线：的距离相等，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.在正四棱柱中，，，，分别是，的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有( )
A. 若为的中点，则
B. 若为的中点，则到的距离为
C. 若，则平面
D. 的周长的最小值为
12.某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格从第格起跳，记跳到第格的概率为，则( )
A. B.
C. 数列为等差数列 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.向量在向量方向上的投影向量的模为______．
14.用，，这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比大的概率为______．
15.已知正项等比数列的前项和为，且，，则 ______．
16.是双曲线：的左焦点，是右支上一点，过作与直线：夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：，圆：．
求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；
若圆与关于直线对称，求的标准方程．
18.本小题分
甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，，，其中．
若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；
当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．
求的方程；
若，是上两点，且线段的中点为，求．
20.本小题分
在等差数列中，，，若数列，对任意，都有，成立，且，．
求数列，的通项公式；
设数列，的前项和分别为，，若，求的最小值．
21.本小题分
在图所示的平面多边形中，四边形为菱形，，，与均为等边三角形分别将，，，沿着，，，翻折，使得，，，四点恰好重合于点，得到四棱锥，．
若，证明：．
若，二面角的余弦值为，求的值．
22.本小题分
已知是椭圆上一点．
求的离心率．
过点作两条互相垂直且斜率均存在的直线，，与交于，两点，与交于，两点，，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，试判断是否为定值若是，求出该定值；若不是，说明理由．
参考答案
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17.解：圆：，
的圆心为，半径为．
，可设的一般式方程为，
将代入，解得，
故的一般式方程为．
设的圆心为，由与关于直线对称，
可得，解得
的标准方程为．
18.解：甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，，，其中．
因为，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率．
这三人都没答对该试题的概率，
当且仅当时，等号成立，此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，
则这三人中至少有两人答对该试题的概率．
19.解：设，，则．
由，可得，
整理得的方程为．
设，，
则，则．
线段的中点为，
，
，
则直线的方程为，显然直线经过点．
由可知，是以为焦点的抛物线，．
20.解：设等差数列的公差为，
，，又，
，，
，
，两式相减得：
，又，
数列是首项为，公比为的等比数列，
；
，，
，
，，
，，
当时，；当时，，
故的最小值为．
21.解：证明：，为的中点，
由题可知，，，，
又，平面，
取，则，
平面，，．
解：连接，由题意得平面，
过点作，垂足为，则平面，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，
由，得，从而，
则，
则，
，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
平面的一个法向量为，
二面角的余弦值为，
，解得．
22.解：因为是椭圆上一点，
所以，即，解得，
所以，
故E的离心率．
为定值，且该定值是，求解过程如下：
设的方程为，，，
联立，整理得，
所以，
所以，
因为是的中点，所以，，
同理可得，，，
因为，，三点共线，所以，即，
所以，
所以，
即为定值，且该定值是．
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