2023-2024学年 陕西省西安市陕西师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年陕西师大附中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
2.已知是等差数列的前项和，且满足，，则( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的两个焦点分别为，，点在上，若，则( )
A. B. C. D.
4.陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于年月日正式对公众开放届时，将有名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去个展厅，主展厅“秦汉文明”安排名，遗址展厅“城与陵”安排名，艺术展厅“技与美”安排名，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.记为等比数列的前项和若，，则( )
A. B. C. D.
6.自圆：外一点引该圆的一条切线，切线长等于点到原点的长，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知双曲线：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于的一条渐近线的对称点为若，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线的方程为，则( )
A. 渐近线方程为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为
10.已知直线：，则下列命题正确的是( )
A. 直线的倾斜角是
B. 无论取何值，直线与圆相切
C. 直线的斜率一定存在
D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于
11.若函数有且仅有一个极值点，则( )
A. B. C. D.
12.等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为若，，则( )
A. B.
C. ， D. 当且仅当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______．
14.已知函数，则的值为______．
15.已知、分别是曲线和上的点，其中是自然对数的底数，则的最小值为______．
16.已知抛物线的准线与轴相交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，若，则线段的长度为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在数列中，，．
设，证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
已知的内角的对边分别为，且．
求；
若的面积为，周长为，求．
19.本小题分
如图，和所在平面垂直，且，．
求证：；
求二面角的正弦值．
20.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有且只有两个零点，求的值．
21.本小题分
已知椭圆：经过点，离心率为．
求椭圆的标准方程；
若直线：与椭圆有两个不同的交点，，原点到直线的距离为，求的面积的最大值．
22.本小题分
已知函数．
当时，证明：有解；
若对任意：，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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16.
17.证明：由题意，
可得
，
整理，可得，
即，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
由可得，，
则，，
，
，
两式相减，
可得
，
．
18.解：Ⅰ中，，
，
；
由正弦定理得，
，
即；
又，，
，
即，
，
解得；
Ⅱ的面积为，周长为，
，
，
，
由余弦定理得：，
由组成方程组，可得：，
可得：，
解得：．
19.解延长至点，使得，连接，
由且，得，
所以，又，所以，
所以，
又，平面，平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以，又，
所以，
分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，所以，
所以；
由知，
设平面的一个法向量是，
则，取，得，
平面的一个法向量是，
，
所以二面角的余弦值为，
则正弦值为．
20.解：，，
当时，；
当时，恒成立；
当时，，
当时，的增区间为，，减区间为；
当时，的增区间为；
当时，的增区间为，，减区间为．
有且只有两个零点，当时，；当时，，
结合知，或或．
故或．
21.解：由题意可得，
又离心率为，
所以，
则，即，
代入，
可得，，
所以椭圆的标准方程为．
由原点到直线的距离为，得，即．
设，，
联立椭圆与直线的方程，消去并整理可得，
其判别式，则．
由根与系数的关系，得，，
所以
，
所以的面积，
当且仅当时取等号，
所以的面积的最大值为．
22.证明：当时，，定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减，
又，，
所以，使得，
当时，，单调递减，
所以，
所以有解，取即可．
解：，即，
令，由为增函数，为增函数，可得为增函数，
所以由，可得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
时，，单调递增，，，单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围是．
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