2023-2024学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.椭圆焦距为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，已知空间四边形，连接，，，分别是，的中点，则等于( )
A. B. C. D.
4.张益唐是当代著名华人数学家他在数论研究方面取得了巨大成就，曾经在数学年刊发表质数间的有界间隔，证明了存在无穷多对质数间隙都小于万年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在年提出的个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知圆：和存在公共点，则的值不可能为( )
A. B. C. D.
6.已知数列，若，，且为正整数，则数列的第项为( )
A. B. C. D.
7.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知正四棱锥的高为，点满足，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件
B. 若，为两个事件，则
C. 若事件，，两两互斥，则
D. 若事件，满足与相互对立，则
10.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当取得最大值时， D.
11.在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，是线段上的动点含端点，则下列说法正确的有( )
A.
B. 存在点使面
C. 当点运动到点处时，点到直线的距离为
D. 与平面所成角正切值的最大值为
12.已知为坐标原点，点在抛物线：上，为抛物线的焦点，过的直线交于、两点在轴的右侧，且，过点的直线交于，两点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为______．
14.如图是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成其中，那么直线与直线所成角的余弦值为______．
15.已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则弦长的最小值为______．
16.已知数列的前项和为，且，若对于都有，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，．
求边上的高线所在直线方程；
求过点且平行于直线的直线方程．
18.本小题分
设为等差数列的前项和，已知，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
四川省高考目前实行“”模式，其中“”指的是语文、数学、外语这门必选科目“”指的是考生需要在物理、历史这门首选科目中选择门，“”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这门再选科目中选择门，已知四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目中生物为必选科目．
从所有选科组合中任意选取个，求该选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求的概率；
假设甲、乙、丙三人每人选择任意个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求的概率．
20.本小题分
已知两个条件：圆经过圆与圆的交点圆与轴正半轴相切，且被直线截得的弦长为．
在这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
圆心在直线上，且_____，求圆的方程；
在的条件下，由圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求的最小值．
21.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，分别是线段，的中点，二面角为直二面角．
求证：；
棱除两端点外上是否存在点，使得平面与平面夹角余弦值为？若存在，请求出点的位置，若不存在，说明理由．
22.本小题分
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸如图：
步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点即折叠后图中的点与点重合；
步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕．
现取半径为的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸，以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
求的方程；
，，过点作斜率不为的直线，直线与曲线交于，两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为，，，
所以，所以边上的高所在的直线的斜率为，
所以边的高所在的直线方程为，
即；
由可得所求的直线为，
即．
18.解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，
，，
整理，得，
又，
，
整理，得，
联立，
解得，
，．
由可得，，
则，
．
19.解：从所有选科组合中任意选取个，基本事件总数，
该选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求包含的基本事件个数，
该选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求的概率为．
甲、乙、丙三人每人选择任意个选科组合是等可能的，都是，
这三人中至少有两人的选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求的概率为：
．
20.解：选，与相减可得，
故圆与圆交点弦方程为，
设两交点坐标为，，
联立与，得，
解得，不妨设，则，即，
故，则，故EF的中点坐标为，
由几何关系可知，圆心在直线的垂直平分线上，即，
即圆心在上，联立，解得，故圆心，半径为，
所以圆的方程为；
选，圆与轴正半轴相切，且被直线截得的弦长为，
设圆心为，，则半径为，
故圆的方程为，圆心到直线的距离为，
由垂径定理得，解得，
故圆的方程为；
由题意得，
故，又，
由题意得，化简得，
故点在直线，故当垂直直线时，取得最小值，
最小值为，故的最小值为．
21.证明：由题意，，，
故四边形为菱形，，
，分别为，中点，，
；
又为线段中点，是等边三角形，
，
又二面角为直二面角，即平面平面，
且平面面，平面，
平面，又平面，
，
又，，平面，
平面，又平面，
；
解：，，
为等边三角形，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
则建立以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，
则，，，
设存在点，，即，
，，，即，
设平面的一个法向量为，
又，，
则由，令，可得，
设平面的一个法向量为，
又，
则由，令，可得，
设平面与平面的夹角为，
则有，
整理得：，令，
则有，解得或舍去，
故当，即点为线段靠近的四等分点时，
平面与平面夹角余弦值为．
22.解：由题意可知，，
故点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆，焦距，
所以，因此轨迹方程为；
由题意可设直线的方程为，，，
联立，消得，
，恒成立，
则，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立与的直线方程，
解得
，
所以点在定直线上．
第1页，共1页