2023-2024学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A卷）（含答案）

2023-2024学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在空间四边形中，点，分别是和的中点，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数满足，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知为等比数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为( )
A. B. C. D.
6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的，，，称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，下列不是数列的项的是( )
A. B. C. D.
7.已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.若函数在上单调递增，则和的可能取值为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
10.已知函数，则( )
A.
B. 有两个极值点
C. 在区间上既有最大值又有最小值
D.
11.已知数列的前项和为，且，，则下列命题正确的是( )
A. 若为等差数列，则数列为递增数列
B. 若为等比数列，则数列为递增数列
C. 若为等差数列，则数列为递增数列
D. 若为等比数列，则数列为递增数列
12.已知在直三棱柱中，，，，点，，分别为棱，，上的动点不含端点，点为棱的中点，且，则( )
A. 平面
B. 平面
C. 点到平面距离的最大值为
D. 平面与平面所成角正弦值的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.等差数列的前项和为，已知，且，则公差 ______．
14.已知圆：和圆：外离，则整数的一个取值可以是______．
15.两个正方形，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，和分别是对角线和上的动点，则的最小值为______．
16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，：是的一条渐近线，是第一象限上的点，直线与交于点，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，，为的中点．
求证：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知圆满足：
截轴所得的弦长为；
被轴分成两段圆弧，其弧长的比为：；
圆心到直线：的距离为．
求该圆的方程．
19.本小题分
已知数列满足，．
求证：数列为等差数列；
设数列前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
求证：当时，．
21.本小题分
已知点在双曲线：上，
求的方程；
如图，若直线垂直于直线，且与的右支交于、两点，直线、与轴的交点分别为点、，记四边形与三角形的面积分别为与，求的取值范围．
22.本小题分
设函数．
若曲线在点处的切线方程为，求，的值；
若当时，恒有，求实数的取值范围；
设时，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.
17.解：证明：平面，平面，
，
四边形是菱形，，
，平面，
平面，平面平面；
过点作平面，交平面于点，
连接，则是与平面所成角，
连接，交于，连接，
，平面，是点到平面的高，
平面，，
平面平面，平面平面，
平面，，，
设与平面所成角为，
则与平面所成角的正弦值为．
18.解：设所求圆心为，半径为，则圆心到轴，轴的距离分别为、，
因圆截轴得弦长为，由勾股定理得，又圆被轴分成两段圆弧的弧长的比为：，
劣弧所对的圆心角为，
故，即，
，
又到直线的距离为，
即，
即
解组成的方程组得：或，于是即，
所求的圆的方程为或．
19.解：证明：由，，
可得，
即有数列是首项为，公差为的等差数列；
，则，
数列前项和，
，
，
由对任意的恒成立，可得．
设，，
，
则，递增，可得时，，
则，即的取值范围是
20.解：因为，
所以当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
在上，单调递增，
在上，单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：由知当时，，
只需要证，
即证，
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以．
21.解：由点在双曲线上，
可得，解得，
所以双曲线的方程为．
由直线垂直于，可得直线的斜率，
设直线的方程为且，，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线的右支交于，两点，
所以，解得，
所以，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以，
直线的方程为，令，可得，
直线的方程为，令，可得，
则
，
所以的面积，
又由，得，
令，可得函数在上单调递减，且，
所以，所以，即的取值范围为．
22.解：由，得，
则，，即切点坐标为，切线的斜率，
由曲线在点处的切线方程为，
可得，解得，．
由，
得，
由题意可知，当时，恒有，且，
则，解得，
若，则当时，，
因为，所以，
令，则，即，符合题意；
当时，则在内恒成立，符合题意；
当时，令，则，
因为，则，，
可知在内恒成立，
则在内单调递增，可得，
则在内单调递增，可得，符合题意；
综上，实数的取值范围为．
证明：由可知，当，时，，
令，可得，
令，则，，则，所以，
令，则，所以，
则，
所以．
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