2024-2025学年江苏省泰州市兴化市高二上学期11月期中考试数学试题(含答案）

2024-2025学年江苏省泰州市兴化市高二上学期11月期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线与直线相互垂直，则实数的值是( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的离心率为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.抛物线的准线方程是 ．
A. B. C. D.
5.已知圆柱的底面半径为，与圆柱底面成的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.若直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，直线与交于点，则( )
A. B. C. D.
7.若线段与圆有两个交点，，则弦的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：和椭圆：，过上一点作轴的垂线，与交于点，垂足为；过上另一点作轴的垂线，与交于点，垂足为，若，则( )
A. B.
C. D. ，大小不确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的有( )
A. 直线与垂直
B. 点到直线的距离为
C. 圆的面积为
D. 椭圆的面积大于
10.已知曲线的方程为，则下列选项中正确的有( )
A. 当时，曲线是圆
B. 当时，曲线是双曲线
C. 当时，曲线是椭圆
D. 当且时，曲线是直线
11.已知为圆：上一动点，动圆：，则( )
A. 动圆必过定点
B. 圆与圆内切
C. 直线与圆相离
D. 直线被圆所截得的弦长存在最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与相互平行，则它们之间的距离为________．
13.写一个与双曲线：有共同的渐近线，且焦点在轴上的双曲线的方程________．
14.若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为 ，此抛物线的顶点坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且．
求直线的斜率；
求直线的方程．
16.本小题分
从圆：外一点向圆引切线，求此切线的长；
自点作圆的切线，求切线的方程．
17.本小题分
定义：以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线．
已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，求的共轭双曲线的方程；
已知双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，，
(ⅰ)求证：；(ⅱ)求的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线：的焦点，与交于，两点．
若线段中点的横坐标为，线段的长为，求抛物线的方程；
在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过，分别作的两条弦，，直线，的交点记为，其中点，，位于轴上方．记四边形的面积为，周长为．
当点在以为直径的圆上运动时，求的最小值；
当点在曲线：上运动时，证明：．
参考答案
1.
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13.答案不唯一
14.
15.解：点，，可知直线平行轴，斜率为，
因为，
所以直线的斜率为或，
又已知点在轴上，
当斜率为时，点在直线上方，与题意不符；
当斜率为时，点在直线下方，此时直线的方程为，
故直线的斜率为；
由知直线的方程为，
令，得，则点坐标为，
则直线的斜率为，
则直线的方程为，化为一般方程为．
16.解：设从向圆引的切线的一个切点为，则，
又因为，，
所以，即切线的长为．
解：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件．
当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，
解得或，
因此，切线的方程为或．
17.解：设双曲线的焦距长为，长轴长为，短轴长为，
由题意，，，解得，，
从而，
因为双曲线的中心在原点，焦点在上，所以的方程为，
从而它的共轭双曲线的方程为．
不妨设双曲线的标准方程为，
则的标准方程为，
所以，，
．
，
因为，，所以，当且仅当时取等号，
所以，即的取值范围是
18.解：抛物线的焦点为，直线的方程可设为，
代入整理得，
设，，则，，
所以，
．
因为线段中点的横坐标为，所以，
因为线段的长为，所以，
由解得，所以抛物线的方程为．
设，直线和直线的斜率分别为，，
则．，
若为定值，由的任意性知，即，此时为原点，
所以存在定点，使得直线和直线的斜率之积为定值．
19.解：当点在以为直径的圆上运动时，
由题意，直线，的斜率都存在，设直线的斜率为，则直线的斜率为．
将直线的方程代入，
化简整理得，．
设，，则，，
所以．
同理．
因为，所以，
当且仅当，即时，四边形的面积取最小值．
曲线是长轴顶点分别为，的椭圆，
由题意，直线，的斜率都存在，记为，，
设，则，可得，
因为，坐标分别为，，
所以．，
将直线的方程代入，
整理得，
同得，同理，
所以
，
所以，
，
综上得．
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