重庆市第十一中学校教育集团高2026届高二上期期中考试
数学试题
2024.11
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.
1.
【答案】C
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】A
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】D
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9.
【答案】BC
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】
13.
【答案】##0.25
14.
【答案】1或3
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）首先求出及的中点坐标，由两直线垂直求出，再由点斜式计算可得；
（2）设三角形的外接圆方程为，将点的坐标代入方程，即可得到、、的方程组，解得即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，的中点坐标为，
又，所以，
所以直线的方程为，即；
【小问2详解】
设三角形的外接圆方程为，
依题意可得，解得，
所以三角形的外接圆方程为，即.
16.
【解析】
分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积等于零来证明即可；
（2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算即可.
【小问1详解】
由题意得，以为坐标原点，以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则，
，
由，
所以；
【小问2详解】
由题得，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可；
（2）联立方程，根据求出范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可.
【小问1详解】
由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
【小问2详解】
直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
18.
【解析】
【分析】（1）先根据面面平行的判定定理证明平面平面，再利用性质定理证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式求解即可；
（3）根据题意证明二面角的平面角为，再求出平面和平面的法向量，转化为判断法向量的数量积是否等于零，即可解决.
【小问1详解】
由题，平面平面，所以平面，
四边形为菱形，所以，又平面平面，
所以平面，、平面，
所以平面平面，又平面，所以平面.
【小问2详解】
由题：平面，四边形为菱形，，
取中点，连接，可得，以为坐标原点，
以、、所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的一个法向量，
则，
可取法向量为，
所以点到平面距离.
【小问3详解】
由四边形为菱形，，和均为直角三角形，
，所以，
取中点，连接，可得，
所以二面角的平面角为，
以为坐标原点，以、所在直线分别为轴，轴，垂直于底面的轴建立空间直角坐标，
则，
故，
设平面的法向量，
则，可取法向量，
设平面的法向量，
则，可取法向量，
因为，所以不垂直，
所以平面与平面不垂直.
19.
【解析】
【分析】（1）根据离心率及椭圆的关系即可求出实数的值.
（2）由（1）可设点，根据得出，再由点Q在椭圆上得出，用斜率公式即可求出的值；
（3）设出的坐标，根据向量共线用坐标表示，解方程组即可得到点的横纵坐标所满足的线性关系.
【小问1详解】
设椭圆E的半焦距为c，
由题意可得，解得，
故实数的值为.
小问2详解】
设
已知，所以
由在椭圆上有：
所以.
【小问3详解】
设，
由题意知，
令，则有，
所以，，
则有，即，
①③得：⑤
②④得：⑥，
⑤⑥：
又在椭圆上，
则有，，
所以的轨迹方程为：，
即点定直线上．重庆市第十一中学校教育集团高2026届高二上期期中考试
数学试题
2024.11
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.
1. 直线过两点，则直线的斜率为（）
A. B. C. 1 D.
2. 若平面的法向量为，方向向量为的直线与平面垂直，则实数（）
A. 4 B. C. 2 D.
3. 圆心为且过原点的圆的一般方程是（）
A. B.
C. D.
4. 椭圆和一定具有（）
A. 相同的离心率 B. 相同的焦点 C. 相同的顶点 D. 相同的长轴长
5. 如图，三棱锥中，点为中点，点满足，则（）
A. B. C. D.
6. 若圆与圆有公切线，则实数的范围是（）
A. B.
C D.
7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若离心率满足，则椭圆的离心率的取值范围为（）
A B. C. D.
8. 已知，且，则代数式的最小值为（）
A B. 18 C. 12 D. 8
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 已知直线，直线，则下列说法正确的是（）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 直线过定点
D. 若直线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（）
A. 四叶草曲线有四条对称轴
B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为
C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D. 四叶草曲线的面积小于
11. 已知正方体棱长为1，动点满足，则（）
A. 当时，则三棱锥的体积为
B. 当时，直线平面
C. 当时，直线平面
D. 当且时，点轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线：与直线，则这两直线之间的距离为________．
13. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且△是正三角形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________．
14. 已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，则点的横坐标为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的顶点坐标分别为，，．
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）求三角形的外接圆方程．
16. 在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
17. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
18. 如图1所示的图形中，四边形为菱形，，和均为直角三角形，，，现沿和将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2（或图3）
（1）证明：平面；
（2）如图2，若平面，求点到平面距离；
（3）如图3，若二面角为时，判断平面与平面是否垂直？
19. 已如椭圆的焦点在轴，离心率，点在直线上．
（1）求实数的值；
（2）设是椭圆的右焦点，若是椭圆上一点，且满足，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为，证明：；
（3）若点纵坐标为，过作直线交椭圆于不同的两点和，在线段上取点（异于两点）满是，证明：点在定直线上．
