2024-2025学年安徽省“江淮名校”高一上学期期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省“江淮名校”高一上学期期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题若，则则命题的否定为( )
A. ，则 B. ，则
C. ，则 D. ，则
4.已知函数的图象如图所示，，则( )
A. 或 B. C. D. 不存在
5.已知，则( )
A. B. C. D. 或
6.若，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
8.已知奇函数的定义域为，，且对，，满足，则满足不等式的整数解个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题，使得则命题为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
10.下列命题是真命题的是( )
A. 、、、表示四个不同的函数
B. 当时，函数的图象始终在函数的图象下方
C.
D. 若，，那么
11.已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件：
对任意的，，都有
对任意的实数，都有
．
则下列说法正确的有( )
A.
B. ，使得
C. 在上单调递减
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知，，则 ．
14.函数为定义在上的奇函数且在区间上单调递减，，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
合肥四中东南角有一块劳动园地，“夏收油菜，秋收红薯”等活动已成为合肥四中劳动教育的特色项目。已知该劳动园地为如图矩形，点在对角线上，，经测量米，米．
设的长为米，试用表示劳动园地的面积
某劳动小组计划明年在该劳动园地种植面积至少为平方米的油菜，请问计划能否实现，并说明理由．
17.本小题分
已知克糖水中含有克糖，再添加克糖假设全部溶解，糖水变甜了．
请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
已知，且，求证：．
18.本小题分
已知函数，其中，为常数且满足，．
求，的值
证明函数在区间上是减函数，并判断在上的单调性不要证明
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数．
求的对称中心
已知函数同时满足：是奇函数当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：，。
当时，，．
A.
若，则，即，满足题意；
若，则，
解得
综上，
故的取值范围为．
16.解：设的长为米，则米，
，，
，
当且仅当，即时取等号，
故D的长为米时，劳动园地面积最小值为平方米．
，所以计划能够实现．
17.解：不等式为 ，其中 ， ．
证明：因为 ， ， ，
所以 ，从而 ，即 ．
证明：因为 ，且 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，取等号．
由知 ，
所以 ．

18.解：根据题意，函数中，
有，，
则有，解得，，
则
证明：根据题意，由可得：，
设，
则，
又由，则，，，
必有，即，
即函数在上为减函数；
当时，，，，
由式得，
即，
所以在上是增函数．
根据题意，若，
则有，
又由，则，
，
即，
又由可得，在区间上是减函数，上是增函数，
则有最小值，
若存在，使得，
即成立，
则有，
解得或，
故的取值范围为．
19.解：，
设的对称中心为，
由题意，得函数为奇函数，
则，
即，
即，
整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以的值域为，
设函数的值域为集合，
则原问题转化为，
因为函数是奇函数，所以函数关于对称，
又因为，所以函数恒过点，
当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，
所以函数在上递减，
则，
又，
所以，解得
当即时，
在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，
所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，
只需要，解得，
综上所述实数的取值范围为．

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