2024-2025学年江苏省泰州市高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省泰州市高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为( )
A. B. C. D.
4.“”是“直线与直线垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知圆关于直线对称，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
7.已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若与恰好关于的一条渐近线对称，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A. 直线恒过定点
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 经过点，的直线方程均可用表示
D. 直线和都经过点，则过两点，的直线方程为
10.圆和圆的交点为，则有( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11.双曲线：的左右顶点分别为、，、两点在上，且关于轴对称( )
A. 以的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 直线与的斜率之积为
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且在轴轴上截距相等的直线方程为_________．
13.若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是 ．
14.从某个角度观察篮球如图可以得到一个对称的平面图形如图，篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为求：
顶点的坐标
直线的方程．
16.本小题分
已知圆：及直线：
证明：直线恒过定点；
当为何值时，直线被圆截得的弦长最长，并求此时直线的方程．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为．
求椭圆的标准方程；
记直线、的斜率分别为，证明：为定值．
18.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的轨迹方程；
若直线与曲线交于两点，求；
若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上．
19.本小题分
已知双曲线的两条渐近线方程为为上一点．
求双曲线的方程；
若过点的直线与仅有个公共点，求的方程；
过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为若，求点到直线的距离的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：由题意知边上的高所在直线斜率为，
故AC边所在的直线的斜率为，则它的方程为，即．
由得
故点的坐标为．
设，则
把的坐标代入直线方程，把点的坐标代入直线方程，
可得
解得
故点
再用两点式求得直线的方程为，化简为．

16.证明：对于直线：，
令得；令，得由，解得，
因为恒成立，所以直线恒过定点．
圆：，圆心为，半径．
根据圆的性质，可知当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，
将代入的方程，得，解得．
当时，直线的方程为，即．
17.解：由的周长为，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以，
，
所以椭圆的方程为： ；
依题意，直线与轴不重合，
设的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
则．
又，则

注意到，即：，
则．

18.解：设，因为，所以，
即，
整理得，
所以曲线的轨迹方程为．
解：曲线的圆心到直线的距离，
所以．
证明：设，，
联立得，
，，．
设，，所以直线的方程为，
直线的方程为．
因为直线与直线交于点，
所以
则
，
即，解得，
所以点在直线上．
19.解：由题意可得，
解得，
所以双曲线的方程为．
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入，
可得，
当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，
即直线的方程为，；
当时，，
即，
可得，
此时直线与双曲线相切，
直线的方程为，
显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足；
综上所述，与双曲线仅有个公共点的直线有条：，，．
当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即，
所以，，此时直线的方程为，
则到的距离为；
当直线的斜率为时，则与重合，，，
此时直线的方程为，则到的距离为；
当直线的斜率存在且不为时，设的方程为，
设，
直线的方程为，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，则，
所以，
所以，
联立，
可得，
，
由韦达定理可得，则，
所以，
所以，
则
，
所以直线的方程为，
即，
所以，即，
故直线过定点，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当时，，的横坐标均为，此时，直线的方程为，过点，
综上所述，直线过定点，
所以点到直线的距离的最大值为．
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