2024-2025学年山东省烟台市高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年山东省烟台市高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知直线和直线平行，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
3.在三棱锥中，点在线段上，且，为中点，设，，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为( )
A. B. C. D.
5.正四棱柱中，，，，分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.在平行六面体中，底面是正方形，，，，是棱的中点，与平面交于点，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
8.过直线上一点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则
B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底
C. 已知向量，，若，则，为钝角
D. 在四面体中，若为的重心，则
10.已知直线与圆，则( )
A. 当时，直线平分圆
B. 直线与圆总有两个公共点
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 被圆截得的弦长为的直线有且只有条
11.正方体的棱长为，点是正方体表面上一个动点，则下列说法正确的有( )
A. 若是线段上的动点，则
B. 若是线段上的动点，的最小值为
C. 若是的中点，且，则点的轨迹围成图形的面积为
D. 若，分别是线段，的中点，当在底面上运动，且满足平面，则线段的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个圆心在轴上，且与直线相切的圆的标准方程 ．
13.已知向量在向量上的投影向量是，且，则 ．
14.已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为 若点是圆上的动点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱和的中点．
证明：平面
求三棱锥的体积．
16.本小题分
已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
求直线的方程和点的坐标
求的面积．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，．
证明：平面平面
若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知一动点在圆上移动，它与定点连线的中点为．
求点的轨迹方程
过定点的直线与点的轨迹交于，两点．
Ⅰ试问是否为定值若是，求出该定值若不是，说明理由
Ⅱ若，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在三棱台中，上、下底面分别为边长是和的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，为的中点，为线段上一点．
若为的中点，证明：平面
求二面角的余弦值
是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，确定的位置若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以
令得，，所以，
又平面，所以平面
，点到平面的距离，
由题意可知，，，
，
所以，
所以，
所以，三棱锥的体积．
16.解：因为边上的高所在直线方程为，
的平分线所在的直线方程为，
所以联立，得，
设点关于直线的对称点为，
所以，
解得，即，
所以，
所以直线的方程为．
设直线的方程为，过点，
所以，直线的方程为，
联立，解得
因为边所在直线方程为，
所以，点到直线的距离，
，
所以．
17.解：证明：取中点，连结，，，
在中，，，
所以为等边三角形，
所以，
因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，
所以，
所以为二面角的平面角，
在中，，，，
所以，可得，
所以，
所以平面平面；
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
且，，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
18.解：设点的坐标是，点的坐标是，
由于点的坐标是，且是线段的中点，
所以，，于是，，
因为点在圆上上运动，
所以点的坐标满足圆的方程，即，
把代入，得，
整理，得；
Ⅰ为定值，
过点作直线与圆相切，切点为，
易得，
，
所以为定值，且定值为．
Ⅱ依题意可知，直线的斜率存在且不为零，
设设，，
将代入，
并整理，得，
，，
，
或．
经检验，时，时，，所以．
所以，直线的方程为．
19.解：证明：设，可知的面积，的面积，
三棱台的体积，所以．
连结，可得，，
所以，即，
因为，分别为，的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以，易知，
因为，， 平面，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面．
易知平面，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，
设平面的法向量为，
所以令，得，
易知，平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，易得为锐角，
则，，
所以二面角的余弦值为
设，，所以，
又，
设平面的法向量为，
所以
令，则，
因为，设直线与平面所成角为，
则，，
整理得，即或，
所以，当点为线段的三等分点时，直线与平面所成角的正弦值为．
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