2024-2025学年北京市海淀区师达中学高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市海淀区师达中学高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 925.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-21 09:05:08 | ||
图片预览
文档简介
北京市师达中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正四棱锥的底面边长为2，高为2，该四棱锥的体积是（ ）
A． B． C．8 D．12
2．已知向量，，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组向量中不平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
5．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（ ）
A． B．
C． D．
6．空间中，设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．
10．如图，已知菱形的边长为2，且分别为棱中点．将和分别沿折叠，若满足平面，则线段的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，在直线上，写出直线的一个方向向量 .
12．在棱长为1的正方体中， .
13．在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是 .
14．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：
①存在点，使；
②存在点，使；
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
15．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
16．直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系.
(1)求的坐标及的长；
(2)求证：.
17．在空间直角坐标系中，已知，，，.
(1)求直线与直线所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．
(1)求证：∥平面；
(2)若平面，求：
（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面的距离．
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列两个问题
(1)求证：为的中点；
(2)求二面角的余弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20．如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，.将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D B B B C D A
11．（答案不唯一，与此向量共线的非零向量均可）
12．1
13．
14．①③④
15．（1）因为，、分别是、的中点，则∥，
又因为∥，则∥，
且平面，平面，所以∥平面.
（2）因为底面，底面，则，
又因为为矩形，则，
且，平面，所以平面.
16．（1）由题意可知：，
则，可得，
所以的长为.
（2）由（1）可得：，
因为，所以.
17．（1）依题意，，则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量，则，
令，则，
得为平面的一个法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．（1）如图,在射线上取点,使,连接.
由题设,得,所以四边形为平行四边形.
所以且.
又四边形为平行四边形,
所以且.
所以且..
所以四边形为平行四边形,
所以.
因为平面平面
所以平面.
（2）（i）因为平面,平面，
所以.又,
所以,,两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系,
则.所以.
设平面的法向量为,则
即
令,则.于是.
设直线与平面所成角为,则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（ii）因为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
所以点到平面的距离为
19．（1）选条件①：
因为，平面，平面，
所以平面
因为平面平面，
所以
又， 所以四边形为平行四边形．
所以且．
因为且，所以且．
所以为的中位线．
所以为的中点．
选条件②：．
因为平面，平面，所以．
在中，．
在直角梯形中，
由，，可求得，所以．
因为，所以为的中点．
因为，平面，平面， 所以平面．
因为平面平面，所以．
所以，
所以为的中点；
（2）由题可知因为平面，所以．
又，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，即
令，则，．于是．
因为平面，且，所以平面，
又平面，所以．
又，且为的中点，所以．平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量．
．
由题设，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
20．（1）∵，，
∴，
∴，又，
∴平面；
（2）（i）由，可知为的平面角，
又平面平面，
∴，即，又，
∴平面，
如图建立空间直角坐标系，则，
∴，
设平面的法向量为，则
，即，
令，则，
又平面的一个法向量可取，
∴，
∴二面角的余弦值为；
（ii）由题设，又，
∴，
∴，又，
∴，又平面的一个法向量为，
由，可得，又，
∴，
∴直线与平面相交.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正四棱锥的底面边长为2，高为2，该四棱锥的体积是（ ）
A． B． C．8 D．12
2．已知向量，，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组向量中不平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
5．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（ ）
A． B．
C． D．
6．空间中，设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．
10．如图，已知菱形的边长为2，且分别为棱中点．将和分别沿折叠，若满足平面，则线段的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，在直线上，写出直线的一个方向向量 .
12．在棱长为1的正方体中， .
13．在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是 .
14．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：
①存在点，使；
②存在点，使；
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
15．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
16．直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系.
(1)求的坐标及的长；
(2)求证：.
17．在空间直角坐标系中，已知，，，.
(1)求直线与直线所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．
(1)求证：∥平面；
(2)若平面，求：
（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面的距离．
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列两个问题
(1)求证：为的中点；
(2)求二面角的余弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20．如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，.将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D B B B C D A
11．（答案不唯一，与此向量共线的非零向量均可）
12．1
13．
14．①③④
15．（1）因为，、分别是、的中点，则∥，
又因为∥，则∥，
且平面，平面，所以∥平面.
（2）因为底面，底面，则，
又因为为矩形，则，
且，平面，所以平面.
16．（1）由题意可知：，
则，可得，
所以的长为.
（2）由（1）可得：，
因为，所以.
17．（1）依题意，，则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量，则，
令，则，
得为平面的一个法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．（1）如图,在射线上取点,使,连接.
由题设,得,所以四边形为平行四边形.
所以且.
又四边形为平行四边形,
所以且.
所以且..
所以四边形为平行四边形,
所以.
因为平面平面
所以平面.
（2）（i）因为平面,平面，
所以.又,
所以,,两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系,
则.所以.
设平面的法向量为,则
即
令,则.于是.
设直线与平面所成角为,则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（ii）因为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
所以点到平面的距离为
19．（1）选条件①：
因为，平面，平面，
所以平面
因为平面平面，
所以
又， 所以四边形为平行四边形．
所以且．
因为且，所以且．
所以为的中位线．
所以为的中点．
选条件②：．
因为平面，平面，所以．
在中，．
在直角梯形中，
由，，可求得，所以．
因为，所以为的中点．
因为，平面，平面， 所以平面．
因为平面平面，所以．
所以，
所以为的中点；
（2）由题可知因为平面，所以．
又，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，即
令，则，．于是．
因为平面，且，所以平面，
又平面，所以．
又，且为的中点，所以．平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量．
．
由题设，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
20．（1）∵，，
∴，
∴，又，
∴平面；
（2）（i）由，可知为的平面角，
又平面平面，
∴，即，又，
∴平面，
如图建立空间直角坐标系，则，
∴，
设平面的法向量为，则
，即，
令，则，
又平面的一个法向量可取，
∴，
∴二面角的余弦值为；
（ii）由题设，又，
∴，
∴，又，
∴，又平面的一个法向量为，
由，可得，又，
∴，
∴直线与平面相交.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
同课章节目录