2024-2025学年北京市顺义区第一中学高二上学期期中考试数学试题（含答案）

北京市顺义区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆：的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如果直线与直线垂直，那么的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．对于圆：，下列说法正确的为（ ）
A．点圆的内部 B．圆的圆心为
C．圆的半径为 D．圆与直线相切
5．已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲的中位数低于乙的中位数
B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
6．已知直线：和直线：，则与间的距离最短值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论：
①； ②面积的最小值是；
③只存在唯一的点，使平面； ④当时，平面平面．
其中所有正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．过点且与直线平行的直线方程为 ．
12．已知，两组数据，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；组数据的方差为 ，若，两组数据的方差相同，试写出一个值 ．
13．椭圆的离心率 ，过右焦点作直线交椭圆于A、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为 ．
14．已知直线：与圆：交于A，两点，当最短时的值为 ．
15．数学中有许多形状优美的曲线，曲线：就是其中之一．给出下列四个结论：
①曲线关于坐标原点对称；
②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线上任意一点到原点的距离的最小值为2；
④曲线所围成的区域的面积大于8．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知的顶点为，，，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程．
17．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，．
(1)求直线与平面所成角的大小；
(2)求点到平面的距离．
18．圆（圆心为整数点）经过，，且满足_________
①与直线相切 ②经过点 ③圆心在直线上．
请从以上三个条件中选择一个条件填到横线上完成下列问题
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程．
19．科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐．以下是A，两地区某年的统计数据，20年1月至12月A，两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
地区（单位：万辆） 29.4 39.7 54.3 49.4 56.2 65.4 61.1 68.2 70.2 71.9 77.1 89.2
地区（单位：万辆） 7.8 8.8 8.1 8.3 9.2 10.1 9.7 9.9 10.4 9.4 8.9 10.1
月销量比 3.8 4.5 6.7 6.0 6.1 6.5 6.3 6.9 6.8 7.6 8.7 8.8
月销量比是指：该月A地区电动汽车市场的销售量与地区的销售量的比值（保留一位小数）．
(1)地区根据当地经济和人口情况制定了月销售评价表
月销售量（万辆）
评价 不合格 合格 良好 优秀 特优
在该年1月至12月的统计数据中随机抽取1个月，求该月销售评价达到“优秀”的概率；
(2)从该年1月至6月中随机抽取2个月，求在这2个月中月销量比均超过6.0的概率；
(3)记该年1月至12月A，两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为，，试判断与的大小．（结论不要求证明）
20．如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点．
(1)平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值．
21．已知圆：与直线相切．
(1)求出；
(2)设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围；
(3)若过点做两条互相垂直的直线交圆于，两点，判断直线是否恒过定点，若存在定点，求出定点坐标，若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A A C B D B B
11．
12． 2 10或15
13． 16
14．1
15．①②④
16．（1）因为，，
所以边所在直线的方程为，即.
（2）由（1）可知：直线的斜率，
则高的斜率，
所以高所在直线的方程，即.
17．（1）以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系，
，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，可取法向量
设直线与平面所成角为，
所以,则，
所以直线与平面所成角的大小为；
（2）因为，则，
由（2）可知，直线与平面所成角的大小为，
所以点到平面的距离为.
18．（1）因为，的中点为，且，
则线段的中垂线方程为，即，
可设圆心，则.
若选①：因为圆与直线相切，
注意到位于直线的同侧，
则，解得，
则，
整理可得，解得或（舍去），
即圆心，半径，
所以圆的方程为；
若选②：因为圆经过点，
则，解得，
即圆心，半径，
所以圆的方程为；
若选③：因为圆心在直线上，
则，解得，
即圆心，半径，
所以圆的方程为.
（2）因为直线l被圆C截得的弦长为6，
则圆心到所求直线的距离为.
当直线l斜率不存在时，直线l方程为，满足题意；
当直线l斜率存在时，设直线l为：，即，
则，解得，此时直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
19．（1）设事件C为“该月销售评价达到“优秀””，
B地区达到“优秀”的月份为5月、6月、7月、8月、9月、10月、12月，共7个月，
所以.
（2）该年1月至6月中随机抽取2个月，
则样本空间为
，
可得，
设事件D为“这2个月中月销量比均超过6.0的”，
则，可得，
所以.
（3）A地区销售量最低有29.4万辆，最高有89.2万辆，数据波动较大；
相比之下B地区销售量最低有7.8万辆，最高有10.4万辆，数据波动幅度较小，变化较为平稳；
故.
20．（1）因为，为中点，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得
由题意可知：平面的法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）线段上是否存在一点，使平面.
设，则，
若平面，则，
可得，解得，
即，可知，
所以存在点，使平面，此时.
21．（1）由题意可知：圆的圆心为，半径为，
因为圆心与直线相切，所以.
（2）因为圆心与直线的距离，
可知圆与直线相离，
由题意可知：当与圆相切（为切点）时，取到最大值，
此时，且，
则，可得，则，
因为点为直线上，则，
可得，整理可得，解得，
所以的取值范围为.
（3）因为均在圆O上，且，
可知当且仅当是圆O的直径时，上述条件成立，
所以直线过定点.
答案第1页，共2页
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