2024-2025学年湖南省张家界市慈利一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省张家界市慈利一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设直线：，，若，则( )
A. B. C. D.
3.“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
7.从某个角度观察篮球如图，可以得到一个对称的平面图形，如图所示，篮球的外轮席为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是( )
A.
B. 这个简谐运动的初相为或
C. 在上单调递减
D. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数
10.如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的上底面内不含边界的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点，使得与所成的角为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则的轨迹的长度为
11.已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则( )
A. 若，的斜率分别为，，则 B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某台机器每天生产个零件，现连续天检测，得到每天的次品零件个数依次为：，，，，，，，，，，，，则这组样本数据的中位数与第百分位数之和是______．
13.已知，点是以线段为直径的圆上任意一点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则的取值范围为______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
阳春三月，油菜花进入最佳观赏期，长沙县江背镇、望城光明村彭家老屋、浏阳达浒油菜花田、岳麓区含泰社区油菜花田都免费向市民、游客开放，长沙某三所高级中学，，组织学生去这四个景区春游，已知，两所学校去每个景区春游的可能性都相同，学校去岳麓区含泰社区春游的可能性为，去其它三个景区春游的可能性相同．
求望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率；
长沙县江背镇迎来学校的个数及所对应的概率．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是梯形，，平面．
求证：平面平面；
在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求出：的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为．
求的方程；
点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
18.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且，
求；
若的面积为，
已知为的中点，且，求底边上中线的长；
求内角的角平分线长的最大值．
19.本小题分
已知抛物线：，，，是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，，，则称三角形为抛物线的外切三角形．
当点的坐标为，为坐标原点，且时，求点的坐标；
设外切三角形的垂心为，试判断是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；
证明：三角形与外切三角形的面积之比为定值．
参考答案
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15.解：依题意，，两所学校去每个景区春游的概率都是，
学校去岳麓区含泰社区春游的概率为，去其它三个景区春游的概率为，
望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率为：
．
依题意，长沙县江背镇迎来学校个数的可能取值为，，，，
，
，
，
．
16.证明：因为平面，、平面，
所以，，可得，
又因为，所以，可得，
因为、是平面内的相交直线，所以平面，
又因为平面，平面平面；
解：因为，平面，所以平面，
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，，则，，
设平面的法向量为，可得，
取，得，，所以，
设为平面的法向量，可得，
取，得，，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
所以，解得，即，可得：的值为．
17.解：由题意可知直线的方程为：，即，
当时，解得：，所以，
又椭圆：过点，
所以 ，解得：，
所以椭圆的方程为：；
设与直线平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，
此时的面积取得最大值，
联立，化简得：，
令，解得：，
与距离比较远的直线方程为：，
又点，且的斜率为，
可得直线方程为：，
点到直线的距离即两平行线之间的距离，
则，
，
所以的面积的最大值：．
18.解：的内角，，的对边为，，，且，
由正弦定理，得，即，
故，
所以，
所以；
由知，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以；
因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于，所以，
由于，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，
故．
19.解：由题意可知，，即为，
求导得，则，由直线的点斜式化简得切线的方程为，
为切线与轴的交点，则点的坐标为．
设，
由易知，则抛物线在点处的切线的方程为，
同理可得切线的方程为，
直线和直线联立可得交点．
同理可得．
设垂心的坐标为，则．
由可知，
即．
同理可得．
两式相减可得，即．
因此垂心在定直线上．
易知，则直线的方程为，
化简得，
且，
点到直线的距离为：
，
则三角形的面积．
由知切线的方程为，
，
可知，
点到直线的距离为：
，
则外切三角形的面积．
故．
因此三角形与外切三角形的面积之比为定值．
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