2024-2025学年广东省清远市四校联盟高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省清远市四校联盟高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.下列函数中与函数相等的函数是( )
A. B. C. D.
5.，，，，下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
6.我国著名数学家华罗庆曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
A. B. C. D.
7.已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是个．
函数偶函数：函数的值域是；
若且为有理数，则对任意的恒成立：
在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边三角形．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数的图象经过点，则( )
A. 函数为增函数
B. 函数为偶函数
C. 当时，
D. 当时，
10.若正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
11.定义在上的连续函数满足，，，，则( )
A.
B. 当，时，
C. 若，则为偶函数
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ______．
14.定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求；
求．
16.本小题分
已知关于的不等式的解集为或．
求、的值；
求关于的不等式的解集．
17.本小题分
已知函数，．
若过点，求解析式；
若．
(ⅰ)当函数不单调，求的取值范围；
(ⅱ)当函数的最小值是关于的函数，求表达式．
18.本小题分
生产产品需要投入年固定成本万元，每年生产万件，需要另外投入流动成本万元，且，每件产品售价为元，且生产的产品当年能全部售完．
写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；年利润年销售收入固定成本流动成本
年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？
19.本小题分
已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
若为正整数，求：“完美集”．
参考答案
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15.解：由，又，
所以．
由知：，或，
所以．
16.解：关于的不等式的解集为或，
，且和是方程的两实数根，
由根与系数的关系知，，解得，；
由知，，时，
不等式为，
不等式的解集是．
17.解：在函数的图象上，
，解得，
．
由函数，
可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，
函数不单调，
，解得，
实数的取值范围；
(ⅱ)由(ⅰ)知，函数的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，
当时，即时，在单调递增，；
当，即时，在单调递减，在单调递增，
；
当，即时，在单调递减，，
表达式为．
18.解：依题意，．
由得，
当，，所以的最大值为；
当时，，
当且仅当时等号成立，又因为，所以或，
当时，；
当时，
由于，
所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元．
19.解：由，，则集合是“完美集”，
若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或舍去，
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于．
不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为．
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