2024-2025学年广东省珠海市六校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省珠海市六校联考高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了场比赛，得分分别为，，，，，，，，那么这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
3.从装有红球、白球和黑球各个的口袋内一次取出个球，给出以下事件：
两球都不是白球；
两球中恰有一白球；
两球中至少有一个白球．
其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A. B. C. D.
4.若直线：与直线：平行，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.设，，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，平行六面体中，为的中点，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为( )
A. B.
C. D.
8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，下列说法正确的是( )
A. 直线过定点
B. 当时，关于轴的对称直线为
C. 点到直线的最大距离为
D. 直线一定经过第四象限
10.已知事件，发生的概率分别为，则下列说法正确的是( )
A. 若与互斥，则
B. 若与相互独立，则
C. 若，则与相互独立
D. 若发生时一定发生，则
11.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 向量，，若，则
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数据，，，，的平均数，则数据，，，，的平均数为______．
13.直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为______．
14.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，
只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和则估计出总样本的方差为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为．
求直线的方程；
求直线的方程及点的坐标．
16.本小题分
第届亚运会已于年月日至月日在我国杭州举行为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
求这人中至多有人通过初赛的概率；
求这人都参加市知识竞赛的概率；
某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元求三人奖金总额为元的概率．
17.本小题分
某省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定，，，，共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分其中，等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的生物成绩中随机抽取名学生的原始成绩未赋分进行分析，其频率分布直方图如图．
求图中的值；
从生物原始成绩为的学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意抽取人，求人均在的概率；
用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上含等级？结果保留整数
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，
，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
证明：平面；
当为何值时，的长最小并求出最小值；
当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
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15.解：与互相垂直，且的斜率为，
直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理得：，
所以直线的方程为．
由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
，关于角平分线轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为，
将、方程联解，得，，
因此，可得点的坐标为．
16.解：由题意可得：人全通过初赛的概率为，
所以这人中至多有人通过初赛的概率为；
甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这人都参加市知识竞赛的概率为；
由题意可得：要使得奖金之和为元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为元”为事件，
则．
17.解：，
；
原始分在和的频率之比为：：，
抽取的人中，原始分在的人数为，记为，；原始分在的人数为，记为，，，；
则从人中抽取人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件，
其中抽取的人原始分均在的结果有：，，，，，，共个基本事件，
人均在的概率；
由题意知：，，等级排名占比为，
则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的等级及以上含等级，
，，
中位数位于之间，设中位数为，则，
解得，
原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上含等级．
18.证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，、平面，
平面；
解：取中点为，连接，，
，
，
又，
．
平面平面，且平面平面，
且平面，
平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，则
；
解：假设存在点使得平面，设，，
由知，，，，，，
则有，可得，
，
平面，为平面的法向量，
，即，解得．
综上，存在点，即当时，点即为所求．
19.解：证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为四边形为正方形，
所以、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为，所以，，
则，
由题知，平面的一个法向量为，
因为，所以，
又因为平面，所以平面；
由知，
所以，其中，
当时，最小，最小值为；
由可知，当、分别为、的为中点时，最短，
此时、，
设平面的法向量为，则，，
因为，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，则，，
因为，，
则，取，可得，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
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