2024-2025学年吉林省通化一中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省通化一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知为定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.若，则函数的最小值是( )
A. B. C. D.
5.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
7.我们将集合的子集为元素的集合称为的一个子集族例如集合有个子集族：，，若集合中有个元素，则的不同子集族有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是( )
A. 平行于，且等于 B. 平行于，且不等于
C. 平行于，且不平行于 D. 平行于或平行于
10.已知，，，，，，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B. 是奇函数
C. 的图象关于点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是______．
14.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知，，且．
求的最小值；
证明：．
17.本小题分
辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为元，顾客买斤，每斤的售价降低元；第二种方案，顾客买斤，每斤的售价为元已知每位顾客限购斤大果榛子设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元．
分别求函数，的解析式；
已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为元，且甲购买了斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？
18.本小题分
若函数满足，求在上的值域；
已知函数的定义域为，对任意，，当时，恒成立，若，求不等式的解集．
19.本小题分
已知函数的定义域为，的定义域为，若对任意的，存在，使得为常数，则称与存在线性关系，其中为线性关系值已知函数．
若函数，判断与是否存在线性关系，并说明理由；
若函数，且与存在线性关系，求的最大值；
若函数，且与存在线性关系，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由，
当时，，则或，
所以或．
由题意可知，，
则或，得或，
所以实数的取值范围为．
16.解：因为，所以，
，，故，当且仅当，即，时取等号，
所以，即的最小值为；
证明：，，且，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，所以．
17.解：已知辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为元，顾客买斤，每斤的售价降低元；第二种方案，顾客买斤，每斤的售价为元，
又一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元，
则，，
，．
由可得：，，
所以，
则甲选择方案二购买，花费元，
则乙花费元，
若乙按照方案一购买，
则，
解得或，
又，
所以，
即乙可以购买斤大果榛子，
若乙按照方案二购买，
则，
解得，
所以乙应该按照方案一购买，乙购买斤大果榛子．
18.解：以代，得，
则，
又因为，
由，得，
即，得，
因为在上单调递减，
所以在上的值域为；
由题意得对任意，，当时，恒成立，
设函数，
，
则在上单调递减．
因为，所以，
所以等价于，
则，
解得，
故不等式的解集为．
19.解：不存在，理由如下：
假设与存在线性关系，
则对任意的，存在，使得，
即，
若在上的值域为集合，在上的值域为集合，则；
因为，图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以，，
所以；
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，即；
因为不满足，
所以假设错误，
所以与不存在线性关系；
因为与存在线性关系，
则对任意的，存在，使得，
由知：在上的值域为集合，
若在上的值域为集合，则；
因为在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，
所以，即，解得：，
所以的最大值为；
因为与存在线性关系，
则对任意的，存在，使得，
由知：在上的值域为集合，
若在上的值域为，则；
，
令，
因为在上单调递减，在上单调递增，
又时，；时，；时，，
所以，
令，则为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
当，即时，在上单调递减，
所以，，
即，
因为，
所以，
又，解得：；
当，即时，在上单调递增，
所以，，
即，
因为，
所以，又，解得：；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，，
此时不成立，不合题意；
综上所述：的取值范围为．
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