2023-2024学年北京166中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京166中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，设复平面内的点表示复数，则复数的共轭复数( )
A.
B.
C.
D.
2.已知是第二象限的角，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，为边上一点，且，设，，则( )
A. B. C. D.
4.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
5.在正六边形中，，设，则，，的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
6.在中，角，，的对边分别是，，，，，点为边上的一点，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.设非零向量，的夹角为，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.在中，，再从下列四个条件中选出两个条件，
；
；
；
面积为，
使得存在且唯一，则这两个条件是( )
A. B. C. D.
9.函数在区间上的零点个数为( )
A. 无穷多个 B. 个 C. 个 D. 个
10.已知圆的半径为，是圆的一条直径，平面上的动点满足，则当不在直线上的时候，的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知角的顶点位于坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ______．
12.若复数，则的虚部为______．
13.在中，内角，，的对边分别是，，，张雷同学写出一个命题“等式不可能成立”请举出一组内角，，说明这个命题是假命题，其中， ______， ______．
14.在梯形中，已知点为边的中点，则的坐标为______，设，若，且，则 ______．
15.如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为，下沿为，某班数学小组在斜披坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度上下沿之间的距离为______
三、解答题：本题共5小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，，，设与的夹角为．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求实数的值；
Ⅲ设，，请直接写出的最小值，并写出此时的值无需写明计算过程
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，．
Ⅰ求的大小；
Ⅱ若，求证：是正三角形．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ若，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点．
Ⅰ当时，在中，求边上的中线的长度；
Ⅱ当时，求的值；
Ⅲ请直接写出能够使等式成立的与的值无需写明计算过程
20.本小题分
已知函数在区间上单调递增，再从下面四个条件中选择两个作为已知，使得函数的解析式存在且唯一．
是的一个零点；
的最大值是；
是函数图象的一个最小值点；
的图象关于直线对称．
求函数的解析式；
若函数在区间上单调递增，求的最大值．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
参考答案
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16.解：Ⅰ因为，，，与的夹角为，
所以；
Ⅱ因为，
所以，
即，解得；
Ⅲ因为，，
所以，
当时，有最小值．
17.Ⅰ解：因为，所以，
由余弦定理知，，
又，
所以．
Ⅱ证明：由正弦定理及得，，
因为，所以，
而，
所以，
所以，即，
因为，
所以，
所以，
故是正三角形．
18.解：Ⅰ因为
，
故函数的最小正周期；
Ⅱ当时，，
故当，即时，，
若，使得关于的不等式成立，
则，即，
故实数的取值范围为．
19.解：Ⅰ时，，，，
所以，；
所以边上的中线为，
所以；
Ⅱ时，，，
所以，，，
所以，；
Ⅲ由，即，
所以，因为，所以或，
时，，时，，
综上，、或、．
20.解：因为
所以，即的最大值为，最小值为，故矛盾；
若选：则，又，由于有两个变量、，故不能唯一确定的解析式；若选：则，又，
所以，，且，，
所以，又函数在上单调递增且，
所以，所以，所以，，，
则，，解得，，
又，所以，所以，经检验符合题意；
若选：则，或，故无法确定的值，所以不能唯一确定的解析式；
若选：则，或，
即或，由于有两个变量、，故不能唯一确定的解析式；
若选：则，又，
的图象关于直线对称，所以，，且，，
所以，又函数在上单调递增，且，
所以，所以，所以无解，
故不能确定的解析式；
由可知，令，
解得，，
所以的单调递增区间为，，
令可得其中一个单调递增区间为，
函数在区间上单调递增，
所以，即的最大值为．
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