2024-2025学年安徽省“江淮名校”高二上学期期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省“江淮名校”高二上学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若方程表示一个圆，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，若，，则( )
A. B. C. D.
5.两平行直线，之间的距离为( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，则( )
A. 不过原点 B. 在轴上的截距为
C. 的斜率为 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为
10.如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则( )
A. 若，则点的轨迹为线段
B. 若，则点的轨迹为线段
C. 存在，，使得
D. 存在，，使得平面
11.若点的坐标是，圆关于直线对称，是圆上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 点在直线上
B. 的取值范围是
C. 以为直径的圆过定点
D. 若直线与圆切于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据，，，，，，，，，的分位数是 ．
13.在四面体中，，，点在棱上，，是的中点，若，则 点到平面的距离是 ．
14.已知点在圆上，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点对称．
求边上的高所在直线的一般式方程
已知过点的直线平分的面积，求直线的方程．
16.如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点．
求直线与所成角的余弦值
求直线与平面所成角的正弦值．
17.某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球除标注的金额不同外，其余均相同，其中标注的金额为元、元、元的球分别有个、个、个参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额．
当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率
当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由．
18.已知圆．
若直线过点且与圆相切，求直线的方程
设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点求的面积的最大值．
19.球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科如图，球的半径为，，，为球面上三点，曲面阴影部分叫做球面三角形若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为．
若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积
将图中四面体截出得到图，若平面三角形为直角三角形，，设，，．
证明：
延长与球交于点，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，为的中点，为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，关于原点对称，所以，
，
所以边上高所在直线的斜率为，
因为，所以边上高所在直线的方程为，
所以边上高所在直线的一般式方程为．
因为过点的直线平分的面积，
所以直线经过边的中点，
又，所以直线的方程为．
16.解：以为原点，的方向分别作为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设直线与所成的角为，
则，，
故直线与所成角的余弦值是．
由知，，，
设平面的法向量为，则
取，得，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：即只摸次球，
红包总金额不高于元，即为元或元，
从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为，
故甲员工所获得的红包金额不高于元的概率为．
当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”，
因为，
，
，
所以．
事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”，
所以
事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”，
因为，所以，
所以，所以事件，不相互独立．
18.解：圆 ： ，圆心 的坐标为 ，半径 ．
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
圆心 到 的距离 ， 与圆 相切；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
由直线 与圆 相切，得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．
综上所述：直线 的方程为 或 ．
圆心 到直线 的距离 ，所以 ，
因为 为圆 上异于 ， 的动点，所以点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
当 且 ， 在圆心 的两侧时，等号成立，
所以 的面积的最大值为 ．

19.解：若平面，平面，平面两两垂直，有，
所以球面三角的面积为．
证明：由余弦定理有：
且，
消去，可得：．
解：由是球的直径，则，
且，平面，
所以平面，且平面，则，
且，平面，可得平面，
由直线直线，与平面所成的角分别为，，
所以，
不妨先令，则，
由，
以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系：
设，则，
可得：，
则．
设平面的一个法向量为，
则
取，则，
可得平面的一个法向量为，
设平面法向量为，
则
取，则，
可得平面法向量为，
要使取最小值，则取最大值，
因为，
，
令，则，
可得，
当且仅当取等号．
则取最大值，为最小值．

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