2024-2025学年陕西省汉中市普通高中十校联盟高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省汉中市普通高中十校联盟高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，则直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
2.若向量是直线的一个方向向量，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
3.直线被圆：截得的弦长是( )
A. B. C. D.
4.圆与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 内含
5.已知椭圆的两焦点分别为，，直线过交椭圆于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
6.双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是( )
A. B. C. ， D. ，
7.若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
8.在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为和，则这样的直线有 条
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆的长轴的端点是双曲线的焦点，且椭圆的焦点在双曲线上，则( )
A. 椭圆的一个焦点坐标是 B. 椭圆的长轴长为
C. 椭圆的离心率是 D. 椭圆的离心率是
10.抛物线：的准线为，为上的动点，对作：的一条切线，为切点，过作的垂线，垂足为，则 ．
A. 与相切
B. 当，，三点共线时，
C. 当时，
D. 满足的点有且仅有个
11.某数学兴趣小组的同学在探究“双”函数的图象和性质时，发现该函数的图象是双曲线，且存在实数，使得对恒成立．据此，下面的结论成立的是( )
A. 实数的最大值为 B. 该双曲线的离心率为
C. 该双曲线的一个顶点是 D. 该双曲线的焦距为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点坐标是 ．
13.设，是椭圆的两焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么 ．
14.设，分别是双曲线的左、右焦点，点是的右支上的一点，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线．
求经过点，且垂直于直线的直线的方程；
求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程．
16.本小题分
已知圆的圆心为，且圆经过直线与的交点．
求圆的标准方程；
求过点且与圆相切的直线的方程．
17.本小题分
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线过点，且其离心率为．
求双曲线的标准方程；
若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点．
若，求实数的值；
设直线，分别过点，，且均与相切，记直线，的斜率分别为，．
过点作的垂线，点为直线与轴的交点，证明：；
求的值．
19.本小题分
已知焦点在轴上的椭圆满足：短轴长为，过点．
求椭圆的标准方程；
椭圆的左、右焦点分别为、，过作不与坐标轴垂直的直线，交于，两点，点关于轴的对称点记为．
证明：直线恒过轴上的一定点，并求出该定点的坐标；
求面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
由题知，直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为，
又直线过点，由点斜式方程得所求直线方程为，
整理得．
设所求直线方程为：，
则，，或，
或为所求．

16.
由得
记，圆的半径，
圆的标准方程为：．
易知，当直线斜率不存在时，直线与圆相切，方程为；
当直线斜率不存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，解得，
为所求．
综上所述，所求切线方程为：或．

17.
由题意知双曲线的焦点在轴上，且其实半轴长为，
设双曲线的标准方程为则，
由得，
双曲线的标准方程．
由得，
当，即：时，方程有且只有一解，合题意；
当时，由，
得，方程有且只有一解，也合题意；
综上所述：实数的值为：，．

18.
由得，
显然，，
设，，则，，
，，，．
设，
由得，
由得，

又，，；
设直线的方程为：，
取，得，则，
而，．
同理可得，，
而，．

19.
焦点在轴上的椭圆短轴长为，可设椭圆的标准方程为：，
椭圆过点，则，得，
椭圆的标准方程为：；
椭圆的标准方程为：，则，，
设直线，，
由得，．
设，，则，，，
．
解法一：
，
，
直线恒过定点；
解法二：
，
取，得
．
直线恒过定点；
由知直线恒过定点，故设直线的方程为：，
由得，
，，
设，，则，，
，
设，则，，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．

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