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第7章 锐角三角函数 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 浦东新区校级期中）在△中，如果，，，那么的值是
A． B． C． D．
2．（2024秋 单县校级期中）已知，则锐角的度数是
A． B． C． D．
3．（2024 城关区校级模拟）在中，，，则的值为
A． B． C． D．8
4．（2024 永昌县三模）△中，，都是锐角，且，，则△的形状是
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
5．（2024秋 肇州县校级月考）比较，，的大小关系是
A． B．
C． D．
6．（2024秋 冀州区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为
A．2 B． C．3 D．
7．（2024 资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼成的大正方形．若，则
A． B． C． D．
8．（2024 周村区二模）如图，中，，，为边上一点，，，为边上一动点，当最大时的长为
A．2 B．3 C． D．
二．填空题（共10小题）
9．（2024 姑苏区校级模拟） ．
10．（2023秋 滁州期末）已知锐角满足，则 ．
11．（2023秋 扶沟县期末）如图，中，，，，则的值为 ．
12．（2023秋 来宾期末）小明在探究一个角的正弦值与余弦值之间的关系发现：，已知中，则 ．
13．（2024秋 张店区校级月考）在△中，已知，是锐角，若，则的度数为 ．
14．（2024秋 工业园区校级月考）在△中，，，△的周长为60，那么为 ．
15．（2023秋 龙口市期中）当为锐角，且时，的取值范围是 ．
16．（2024 张店区二模）如图，某厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．小明想用科学计算器求上弦的长，若小明按键的顺序为，则由左到右第三个空白方格中应按键的符号是 ．（请从，，中选择填写）
17．（2024秋 裕华区校级期中）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为 ．
18．（2024 温州自主招生）如图，在“镖形” 中，，，，则点到的距离为 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 甘州区校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
20．（2024秋 台江区校级月考）在中，，，，的对边分别为，，，请你确定式子是否为常数，并试证明你的结论．
21．（2023秋 义乌市期末）如图，在等腰中，，，过点作于点．
（1）求的长；
（2）若点是边的中点，连结，求的值．
22．（2022秋 漳州期末）小明和他的学习小组开展“测量樟树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
课题 测量樟树的高度
测量工具 测角仪和皮尺
测量示意图及说明 说明：为水平地面，樟树垂直于地面，斜坡的坡度，在斜坡上的点处测樟树顶端的仰角的度数．
测量数据 米，米，．
参考数据 ，，．
请你根据以上测量报告中的数据，求樟树的高度．（结果精确到0.1米）
23．（2024 海淀区校级模拟）如图，在中，，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求的长．
24．（2024秋 工业园区校级月考）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作．如图①，在△中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1） ；
（2）如图②，△中，，若，求的值；
（3）如图③，△中，，若， ．
25．（2023秋 西固区期末）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行600米至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．（参考数据：，
（1）求菜鸟驿站与超市的距离（精确到个位）；
（2）若小南的步行速度为80米分钟，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．（忽略小南买素描画纸的时间）
26．（2024 鼓楼区校级模拟）直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知， ， ．，，，，，因此、、三点不共线，同理、、三点不共线．所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
（1）将小明的证明补充完整， ， ；
（2）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明．中小学教育资源及组卷应用平台
第7章 锐角三角函数 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 浦东新区校级期中）在△中，如果，，，那么的值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图所示：
在△中，，，，
根据勾股定理得，，
根据三角函数的定义，，
所以的值是，
故选．
2．（2024秋 单县校级期中）已知，则锐角的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，为锐角，
．
．
故选．
3．（2024 城关区校级模拟）在中，，，则的值为
A． B． C． D．8
【答案】
【解析】由题意，得，
，
．
故选．
4．（2024 永昌县三模）△中，，都是锐角，且，，则△的形状是
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
【答案】
【解析】，，
，，
，
△的形状是锐角三角形．
故选．
5．（2024秋 肇州县校级月考）比较，，的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，
，
，，
，，
，
故选．
6．（2024秋 冀州区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【解析】如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，，，
，
根据题意，，
，，
△△，
，
，
，
，
在△中，，
，
．
故选．
7．（2024 资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼成的大正方形．若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，设，则，
，四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
故选．
8．（2024 周村区二模）如图，中，，，为边上一点，，，为边上一动点，当最大时的长为
A．2 B．3 C． D．
【答案】
【解析】如图，过点作于点，
，，
设，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
当时，有最小值，从而有最大值，即有最大值，
解得，，其中不符合题意舍去，
．
当最大时的长为．
故选．
二．填空题（共10小题）
9．（2024 姑苏区校级模拟） ．
【答案】．
【解析】．
故答案为：．
10．（2023秋 滁州期末）已知锐角满足，则 35 ．
【答案】35．
【解析】，
，即：，
故答案为：35．
11．（2023秋 扶沟县期末）如图，中，，，，则的值为 ．
【答案】．
【解析】，，，
，
．
故答案为：．
12．（2023秋 来宾期末）小明在探究一个角的正弦值与余弦值之间的关系发现：，已知中，则 ．
【答案】．
【解析】，，
．
故答案为：．
13．（2024秋 张店区校级月考）在△中，已知，是锐角，若，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
14．（2024秋 工业园区校级月考）在△中，，，△的周长为60，那么为 26 ．
【答案】26．
【解析】如图：
，，
，
设，则，
在△中，，
，
△的周长为60，
，
，
，
，
．
故答案为：26．
15．（2023秋 龙口市期中）当为锐角，且时，的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】由题可知，
为锐角，
在锐角范围内，的值越大，的值越小，
时，
．
故答案为：．
16．（2024 张店区二模）如图，某厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．小明想用科学计算器求上弦的长，若小明按键的顺序为，则由左到右第三个空白方格中应按键的符号是 ．（请从，，中选择填写）
【答案】．
【解析】作于点．
，
是等腰三角形，
，
是的中线，也是的平分线，
，，
，，
，即，
，即．
故答案为：．
17．（2024秋 裕华区校级期中）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为 ．
【答案】．
【解析】矩形为一个正在倒水的水杯的截面图如图所示，，
四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
杯中水的最大深度为．
故答案为：．
18．（2024 温州自主招生）如图，在“镖形” 中，，，，则点到的距离为 2 ．
【答案】2．
【解析】延长交于点，过点作于点，过点作于点，如图．
，
，．
又，
，
，
．
又，，
．
．
即到距离为2．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 甘州区校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
20．（2024秋 台江区校级月考）在中，，，，的对边分别为，，，请你确定式子是否为常数，并试证明你的结论．
【解析】是常数，证明：
，，，
．
式子是常数．
21．（2023秋 义乌市期末）如图，在等腰中，，，过点作于点．
（1）求的长；
（2）若点是边的中点，连结，求的值．
【解析】（1）因为，
则在中，
，
又因为，，
所以，
所以．
（2）因为，，
所以．
因为，且点是边的中点，
所以，
所以，
又因为，
所以．
在中，
，
所以．
22．（2022秋 漳州期末）小明和他的学习小组开展“测量樟树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
课题 测量樟树的高度
测量工具 测角仪和皮尺
测量示意图及说明 说明：为水平地面，樟树垂直于地面，斜坡的坡度，在斜坡上的点处测樟树顶端的仰角的度数．
测量数据 米，米，．
参考数据 ，，．
请你根据以上测量报告中的数据，求樟树的高度．（结果精确到0.1米）
【解析】如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
，，
在中，斜坡的坡度，米，
设米，则米，
（米，
，
，
米，米，
（米，米，
米，
在中，，
（米，
（米，
答：樟树的高度约为16.3米．
23．（2024 海淀区校级模拟）如图，在中，，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：是边上的中线，
，
点是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，为边上的中线，
，
，
四边形为矩形；
（2）解：，为边上的中线，
，
在 中，，
，
，
又点为中点，
，
在中，，
．
24．（2024秋 工业园区校级月考）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作．如图①，在△中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1） 1 ；
（2）如图②，△中，，若，求的值；
（3）如图③，△中，，若， ．
【解析】（1）顶角为的等腰三角形是等边三角形，
．
故答案为：1．
（2）如图②所示：
作于点，
△中，，，，
，，
，
，
，
即；
（3）如图③所示，在上截取，作于点，
△中，，，
设，，则．
，，
，
，
，
故答案为：．
25．（2023秋 西固区期末）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行600米至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．（参考数据：，
（1）求菜鸟驿站与超市的距离（精确到个位）；
（2）若小南的步行速度为80米分钟，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．（忽略小南买素描画纸的时间）
【解析】（1）如图，过作交的延长线于点，
则，
由题意可知，米，，，
（米，是等腰直角三角形，
米，
（米，
答：菜鸟驿站与超市的距离约为424米；
（2）小南上美术网课会迟到，理由如下：
在中，，
（米，
（米，
（米，
，
小南上美术网课会迟到．
26．（2024 鼓楼区校级模拟）直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知， ， ．，，，，，因此、、三点不共线，同理、、三点不共线．所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
（1）将小明的证明补充完整， ， ；
（2）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明．
【解析】（1）解：依题意得拼接的四边形为矩形，
，，
则在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
因此、、三点不共线，
同理、、三点不共线．
所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
故答案为：；．
（2）证明：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交于，如图所示：
依题意得拼接的四边形为矩形，
则四边形，四边形，四边形都是为矩形，
，，，，
点，点，点，点，
设直线的表达式：，
将点，点代入，得：，解得：，
直线的表达式：，
对于，当时，，
点不在直线上，
点，，三点不共线，
对于，当时，，
点不在直线上，
、、三点不共线，
拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
