课件18张PPT。二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出．二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用． 物理是我的强项数学上我同样有建树二项式定理研究的是 的展开式.…此法
有困难…多项式乘法的再认识规律: 每个括号内任取一个字母相乘构
成了展开式中的每一项.① 项：② 系数： 1③ 展开式： 探究1 推导 的展开式.
猜想探究2 仿照上述过程,推导 的展开式.①项：②系数：探究3：请分析 的展开过程，证明猜想.LL③展开式：④二项展开式的通项:③二项式系数:①项数：②次数：共有n＋1项 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 ,
字母b按升幂排列，次数由0递增到n .杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家二项式定理 二项式定理 例：求 的展开式．解:直接展开例：求 的展开式．先化简后展开例：求 的展开式．解:(2)二项展开式的通项：1.二项式定理：2．思想方法小结(1)二项式系数：(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.(1) 从特殊到一般的数学思维方式.(3) 类比、等价转换的思想.杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家作业布置1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、2、32、思维拓展型作业：
探究二项式系数
有何性质.敬请指导谢谢解:例：求 的展开式．1.直接展开2.先化简后展开解:例：求 的展开式．思考3：你能否直接求出
展开式的第３项？
思考1：展开式的第３项
的系数是多少？
思考2：展开式的第３项
的二项式系数是多少？解:例：求 的展开式．思考3：你能否直接求出
展开式的第３项？
思考1：展开式的第３项
的系数是多少？
思考2：展开式的第３项
的二项式系数是多少？《二项式定理(一)》教案
教材：人教A版选修2-3第一章第三节
授课教师： 浙江省宁波中学 倪蕾
一、教学目标
1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
3. 情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．
二、教学重点、难点
重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.
三、教学过程
（一）提出问题，引入课题
引入：二项式定理研究的是的展开式，如：，
那么的展开式是什么？
【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.
（二）引导探究，发现规律
1、多项式乘法的再认识．
问题1. 的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？
问题2. 展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.
2、展开式的再认识
探究1：不运算，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：
(1) 合并同类项之前展开式有多少项？
(2) 展开式中有哪些不同的项？
(3) 各项的系数为多少？
(4) 从上述三个问题，你能否得出的展开式？
探究2：仿照上述过程，请你推导的展开式.
【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
(三) 形成定理，说理证明
探究3：仿照上述过程，请你推导的展开式．
——— 二项式定理
证明：是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由k个选了b，n－k个选了a得到的，它出现的次数相当于从n个中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
【设计意图】通过仿照、展开式的探究方法，由学生类比得出的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．
(四) 熟悉定理，简单应用
二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）
1. 项数：共有１项.
2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．
各项的次数都等于n．
3. 二项式系数: 依次为，这里称为二项式系数.
4. 二项展开式的通项: 式中的叫做二项展开式的通项. 用表示.
即通项为展开式的第１项: =
变一变 （1） （2）
例. 求的展开式.
思考1：展开式的第３项的系数是多少？
思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？
思考3：你能否直接求出展开式的第３项？
【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．
(五) 课堂小结，课后作业
小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）
公式：
思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.
作业
巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3
思维拓展型作业：二项式系数有何性质．
教案设计说明
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．
本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．
本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．
