2024-2025学年福建省福州十校高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年福建省福州十校高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. B. C. D.
3.过点，且垂直于直线的直线方程是( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为( )
A. B. C. D.
5.直线的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下关于直线的表述正确的是( )
A. 斜率为，在轴上的截距为的直线方程为
B. 经过点且在轴和轴上截距相等的直线方程为
C. 点斜式方程可用于表示过点且不与轴垂直的直线
D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
10.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 直线到平面的距离为
C. 点到直线的距离为
D. 平面截正方体截面的面积为
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯约公元前前发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则( )
A. 直线过定点
B. 动点的轨迹方程为
C. 动点到直线的距离的最大值为
D. 若点的坐标为，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线，直线，若，则 ．
13.在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标 ．
14.如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点是，，．
求边上的高所在的直线方程；
求的面积．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，，平面．
求证：；
若，直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知圆过两点、，且圆心在直线上
求圆的标准方程；
已知点，
判断点与圆的位置关系，并说明理由；
若点在圆内，求过点的最短弦长及其所在的直线方程；若点在圆上或圆外，求过点的圆的切线方程．
18.本小题分
在四棱锥中，面面，．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ在棱上是否存在点，使得平面若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
新定义：已知，空间向量的叉积若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为混合积性质：若，则与共面；若，则与异面已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点．
用混合积性质证明：与是异面直线；
若点，求的长的最小值；
若为坐标原点，直线，求的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
由题意可得：直线的斜率
则边上的高所在直线的斜率，
又这条直线过点，
所以直线方程为，
即．
方法一因为，所以，所以，所以，
因为，
所以，
方法二由知直线的斜率，
则直线的方程为，即，
点到直线的距离，
因为，，
方法三因为，
所以，所以，
因为，
所以．

16.
因为，，且，所以四边形为菱形，则，
又因为平面，平面，
所以，又，、平面，所以平面，
又平面，所以．
方法一因为平面，
所以直线与平面所成的角为，即，
因为平面，平面，则，则，
令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形，
所以，，，，
因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，
设平面的法向量，
则，取，则，，故，
易知平面的一个法向量为，
，
故平面与平面的夹角余弦值为．
方法二因为平面，
所以直线与平面所成的角为，即，
因为平面，平面，则，则，
令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形，
所以，，，，
所以，，
取中点，连接、，
等腰直角中，且，
由勾股定理得，
因为，则，且，
因为，，平面平面，
所以平面与平面的夹角即，
在中，，，，则，即，
，故平面与平面的夹角余弦值为．

17.
方法一因为圆心在直线上，设圆心为，
因为点、在圆上，所以，
即，
整理得，
解得，所以圆心，半径，
即圆的标准方程为．
方法二因为点、在圆上，
则，的中点
所以的中垂线方程为，即，
联立，解得，圆心，
半径，
所以圆的标准方程为．
由可得圆，
则圆心，半径，
因为，
则点在圆外，
当过点的直线斜率不存在时，则直线方程为，
圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线；
当过点的直线斜率存在时，
可设直线方程，即，
由圆心到该直线的距离，
由直线与圆相切，则，即，
可得，解得，
此时，直线方程为，即，
综上，切线的方程为或．

18.Ⅰ证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，
平面；
平面，
平面平面．
Ⅱ解：取中点为，连接，，
，
，
又，
．
以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则由
得，令，则
则，
假设存在点使得平面，
设，，，
则，，
则有，
可得，
，
平面，为平面的一个法向量，
，
即，
解得，
综上，存在点，即当时，使得平面．

19.
由题意得，
因为，
所以，
故与是异面直线．
设与都垂直的向量，
由，可取，
则的长的最小值为．
由题意可设，
，
则，
由得共线，则，解得
故．

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