2024-2025学年浙江省宁波市五校联盟高二上学期期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市五校联盟高二上学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列直线中，倾斜角最大的是( )
A. B. C. D.
2.已知点，，，且四边形是平行四边形，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.如图，平行六面体中，为的中点，，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为( )
A. B. C. D.
5.若直线与直线互相垂直，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的离心率为，圆与的一条渐近线相交，且弦长不小于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知曲线，则下列结论中错误的是( )
A. 曲线与直线无公共点
B. 曲线关于直线对称
C. 曲线与圆有三个公共点
D. 曲线上的点到直线的最大距离是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最大值 D. 为钝角，则
10.如图所示，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 的最小值为
C. 若是的中点，则到平面的距离为
D. 若直线与所成角的余弦值为，则
11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．已知在平面直角坐标系中，到两定点距离之积为常数的点的轨迹是双纽线．若是曲线上一点，则下列结论正确的是( )
A. 曲线上有且仅有个点满足
B. 曲线经过个整点横、纵坐标均为整数的点
C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点到直线的距离最大值是 ．
13.如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 用向量来表示．
14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线，，直线过点且与垂直．
求直线的方程
设分别与、交于点、，为坐标原点，求过三点、、的圆的方程．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，四边形是边长为的菱形，，点为棱上动点不与、重合，平面与棱交于点．

求证：；
已知，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知双曲线：的离心率为，实轴长为，为双曲线的左顶点，设直线过定点，且与双曲线交于，两点．
求双曲线的方程；
证明：直线与的斜率之积为定值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，，，是棱上的点，且，．
求证：平面；
设二面角的大小为，若，求的值．
19.本小题分
已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知．
若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
参考答案
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15.解：因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为．
联立解得所以，
同理可得．
设过三点A、、的圆的方程为，，
则，解得，
所以过A、、三点的圆的方程为．
16.解：，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
；
连结，取中点，连结，

在菱形中，，
是等边三角形，
又为中点，，，
同理，又，
，
，
又，，
故两两垂直，
以点为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，
故，又，
设与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：由双曲线：的离心率为，实轴长为，
可得，，解得，，，
则双曲线的方程为；
证明：直线过定点，且与双曲线交于，两点，，
可设直线的方程为，，，
联立，可得，
，
，，
则直线与的斜率之积为
，
则直线与的斜率之积为定值．
18.解：证明：
因为，，
所以，，
在中，，，
由余弦定理得，
，
所以，
即，，
取的中点，连接，
因为是等边三角形，
所以，
又因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又，，平面，
所以平面；
取的中点，连接，
则，所以，
故，，两两垂直，
以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
，
，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则
即
当时，
令，则，，
平面的一个法向量为，
因为，
所以平面平面，不合题意；
当时，
令，得，，
故平面的法向量为
，
平面与平面所成角的余弦值为，
故有
，
解得或，
故或．

19.解：由题意得椭圆方程为，所以，
设，则
，
二次函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减，
所以时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点，
椭圆是 “圆椭圆”；
因为椭圆方程为，，设，，
则，，
由题意得，当且仅当时，函数值达到最大，
当开口向上时，满足与矛盾，舍去；
当开口向下时，满足
综上可得的取值范围为．
法：由可得，则椭圆方程为，
由题意：设且，
则，则直线：，则，
则直线，则，
若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，设则，且，
，，
则，解得，
所以得定点．
法二：椭圆方程：，设，
则，
所以，，
若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，
设，则，又，，
所以， ，解得，
所以得定点．

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