2024-2025学年浙江省台州市山海协作体高二上学期期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省台州市山海协作体高二上学期期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知是直线：上一动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
6.椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
7.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”如图所示给出下列三个结论：
曲线关于直线对称；
曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内含边界．
其中，正确结论的序号是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是( )
A. 若点为的重心，则
B. 若，则四点不共面
C. 若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于
D. 若与平面交于点，且，则为定值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列选项正确的是( )
A. 当直线与直线平行时，
B. 当直线与直线垂直时，
C. 当实数变化时，直线，恒过点
D. 原点到直线的距离最大值为
10.如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若为的中点，则直线平面
C. 若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正弦值是
D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为
11.已知点是椭圆上的一点，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，下列选项正确的是( )
A.
B. 若，且是的中点，则
C. 若的面积为，则点在第一象限的坐标为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
13.已知，，且，，，则 ．
14.设为坐标原点，，若：上存在点，使得，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程；
在轴上存在一点，使得的值最小，求出点的坐标．
16.本小题分
已知圆：过点，直线：和：均平分圆．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相交于点，且，求直线的一般式方程．
17.本小题分
动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是，动点的轨迹记为曲线．
求动点的轨迹；
已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且．

求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
线段上是否存在点，使得平面，说明理由？
19.本小题分
已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上．
求的方程；
如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点，．
(ⅰ)证明：点在以为直径的圆内；
(ⅱ)求四边形面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当直线过线段中点时，则线段的中点的坐标为，
直线过点，且点，到的距离相等，
直线的方程为，
当直线与线段平行时，则，
得直线的方程为：，即，
综上所知：所求的直线的方程为和；
点关于轴对称的点为，则，
当且仅当，，三点共线时，的最小值为．
由两点式可知，直线的方程为，
化简，得，当时，，
所以点的坐标为．

16.解：由点在圆上，则，
又直线和均平分圆，则直线和均过圆心，
联立方程组，解得
所以直线和的交点坐标为，即圆心的坐标为，
由圆：可知，圆心的坐标为，
则，解得
将代入，得，
所以圆的方程为：，即，
故圆的标准方程为：．
由题可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，即，
取弦的中点为，则，
由，且为等腰三角形，则，
又，则圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可知：，解得，，
所以直线的方程为，即直线的一般式方程为：，．

17.解：设是点到直线的距离，则动点的轨迹就是点的集合，
由此得，
两边平方，并化简，得，即，
即点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为的双曲线；
设曲线与直线的交点分别为，，
则，得，
，
线段的中点坐标为，
又线段的中点在圆上，
，解得．


18.解：，，
，
，即
又，且，且两直线在平面内，
平面．
平面平面，平面平面
，平面，
平面，又因为面，
．
由已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，
，，，
为的中点，
又，
设平面的法向量为，则
令，则，，
由可知，平面，
平面的法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为．
线段上存在点，使得平面，
设，则
由可知，平面的法向量，
则，
解得
当是中点时，则平面．

19.解：由椭圆对称性可知，，两点在椭圆上，
则，有一点在椭圆上，
设点在椭圆上，
则，方程组无解，所以点在椭圆上
代入，可得，，即椭圆方程为．
易知，，由椭圆对称性可知，不妨设，，，，
根据题意可知直线，斜率均存在，且，，
所以直线的方程为，的方程为，
联立直线和椭圆方程，消去可得，
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线和椭圆方程，消去可得，
由韦达定理可得，解得，则；
则，
，
所以，
即可知为钝角，以点在以为直径的圆内；
(ⅱ)由四边形面积为
，
设，，则，当且仅当时等号成立，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，可得，
所以时，四边形的面积最大为，此时点的坐标为，
由对称性可知，即当点的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为．

第1页，共1页