17.1 一元二次方程 课件（共30张PPT）

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17.1 一元二次方程
第17章 一元二次方程
1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗
◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
复习引入
分别指出下面的方程叫做什么方程？
⑴3x+4=1； ⑵ 6x-5y=7
⑶
解：⑴是一元一次方程，
⑵是二元一次方程，
⑶是分式方程.
问题1：某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一翻，要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
思考：
1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？
方程
活动1：探究列一元二次方程及其一般形式
2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,去年的产量为a，那么2今年无公害蔬菜产量为 ，明年无公害蔬菜产量为 .
a+ax=a(1+x)
a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2
3.你能根据题意，列出方程吗？
a(1+x)2=2a
把以上方程整理得： .
x2+2x-1=0 （1）
问题２： 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
32
20
x
1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程可得：
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0 （2）
32
20
x
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570
32-2x
20-x
32
20
广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
（1）这些方程的两边都是 ；
（2）都只含 未知数x；
（3）它们的最高次数都是 次的；
因此 ,像这样的方程两边都是 ，只含有 未知数（一元），并且未知数的最高次数是 （二次）的方程叫做一元二次方程．
整式
一个
2
整式
一个
2
方程①②的共同点：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
知识要点
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0？b，c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
练习：判断下列方程，哪些是一元二次方程（ ）
（1）x3－２ｘ2＋５＝０；
（２）
　
（3）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；
（4）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；
（5）ax2＋bx＋c＝０
典例精析
例1 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
少了限制条件
a≠0
提示
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
1.等号两边都是整式
2.只含有一个未知数
3.未知数的最高次数是2
特点：
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
一元二次方程的解(或根).
例1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
一般式：
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
一般式：
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
一般式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
一般式：
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
例２、若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。
练习:1.若关于ｘ的方程
是一元二次方程，求ｋ的取值范围。
2.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
例题讲解
例3
例题4
能力提升：
1.关于x的方程（2m2+2m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程
吗？为什么？
2.关于 的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
4.已知 的值为2，则
的值为 。
3.已知关于x的一元二次方程 的系
数满足 ，则此方程必有一根为 。
5.如果 ，那么代数
式 的值。
（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行.
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.
（3）二次项系数a≠0.
注 意
1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3)
2.构造一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为2.
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意得
把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0
9+4a=0
4a=-9
4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓展:若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗
1. 判断下列方程是否一元二次方程？
2．m何值时，方程
是关于χ的一元二次方程
0
3
-
2x
x
)
1
(
4
0
c
x
3
0
y
x
2
1
2
2
2
2
＝
）
＝
＋
）
＝
－
）
0
1
x
3
x
x
2
2
＝
－
＋
）
+
+
+
m
b
ax
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
根
使方程左右两边相等的未知数的值.