第23章 旋转 综合题 专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第23章 旋转 综合题 专项练
2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
1．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．

2．如图，点E与F分别在正方形的边与上，，以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到．已知，，求的长．

3．如图，在中，，以为边向右侧作等边，把绕点按顺时针方向旋转后得到，若．
(1)求的度数；
(2)求的长．
4．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，将绕点顺时针旋转得，连接．

(1)当，_____；
(2)当为多少度时，是等腰三角形？说明理由．
5．已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接．
(1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系；
(2)当时，若点为线段的中点，连接．判断和的数量关系，并证明．
6．在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
7．如图，在中，，，点D为内一点，，，连接，将绕点A按逆时针方向旋转，使与重合，点D的对应点为点E，连接交于点F，

(1)求的度数．
(2)求中边上的高．
(3)求的长．
8．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．

(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求．
9．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．
(1)若．则的度数为 ；
(2)若，求的长．
10．在中，，将在平面内绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点为点，连接．
(1)若，如图①，求的度数；
(2)当点在边上时，如图②，若，，求的长．
11．如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)顺次连接D，E，C，F，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
12．如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合

(1)旋转中心是点 　 　；
(2)若，旋转角是 　 　度；
(3)若，请判断的形状并说明理由．
13．如图，在正方形中，E是边上的一动点（不与点B，C重合）．将线段绕点A顺时针旋转得线段．延长，交于点G．
(1)求证：；
(2)连接，试探究：是否为定值？若是，请求出定值，若不是，说明理由．
14．在中，．
(1)如图，，，于点，，连接，求线段的长；
(2)如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，点为中点，连接，．求证：．
参考答案：
1．（1）60°；（2）
（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°．
（2）由旋转的性质得：AD=OB=4．
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5．
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=．
2．
解：四边形为正方形，
，，
∵将按顺时针方向旋转得到．
，，，
点在的延长线上，
，
，
在和中，
，
，
．
3．(1)
(2)6
（1）解：把绕点按顺时针方向旋转后得到，
；
（2）解：为等边三角形，
，
，
，
，
由旋转的性质可得：，
，为等边三角形，
在同一直线上，
，
．
4．(1)
(2)或或
（1）解：∵将绕点顺时针旋转得，，
∴，，，
∴，为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，，
①当时，
，
解得：；
②当时
，
解得：，
③当时，
，
解得：，
综上所述，当为或或时，为等腰三角形．
5．(1)
(2)，见解析
（1）解：，
如图1所示：
是等边三角形，
，
又，
，
，
，
，
将线段逆时针旋转得线段，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：，
理由如下：如图2，以为边作等边三角形，连接，
和都是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
将线段逆时针旋转得线段，
，
，
点，点，点三点共线，
，
，
6．(1)．见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）．
理由如下：逆时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，，
；
（2）证明：在和中，
，
，
；
（3）证明：顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，，
；
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
7．(1)
(2)6
(3)
（1）解：如图，由旋转可知：．
，
．
（2）解：∵；
在中，利用勾股定理可得：；
∴中边上的高；
（3）解：过作于，则，

由（1）知，
，
，
由（2）知，
在中，利用勾股定理可得：，
，
，
．
8．(1)正方形，理由见解析
(2)
（1）四边形是正方形，理由如下：

∵将点B按顺时针方向旋转，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）如图，过点D作于H，

∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
在中，．
9．(1)
(2)
（1）解：∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴．
10．(1)
(2)
（1）解：∵将在平面内绕点顺时针旋转得到，，
∴，，
∴，
∴的度数为；
（2）解：过点作，连接，设，
∵将在平面内绕点顺时针旋转得到，点在边上，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴的长为．
11．(1)见解析
(2)能，
（1）证明：连接
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，
故当互相平分时，四边形为矩形，
∵互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
设，则，，
由（1）知，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
12．(1)B
(2)40
(3)等边三角形，见解析
（1）旋转中心是点，
故答案为：；
（2），
，
，
将旋转后能与重合，
，
，
∴旋转角是40度，
故答案为：40；
（3）是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
将旋转后能与重合，
，
，
是等边三角形．
13．(1)见解析
(2)，理由见解析
（1）证明：四边形为正方形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：是定值，理由如下：
连接，在的延长线上取，连接，
，
，，
即有，，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
．
14．(1)
(2)证明见解析
（1）
解：在中，，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
证明：如图，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接并延长交于点，连接交于点，
由旋转知，，，，
，
，
，
，，
，，
四边形是正方形，
，，
，即，
又，
，，
，
，
又点为中点，
点与点重合，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
．
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