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2024-2025学年度上学期期中考试
高二数学试卷
满分：150分考试时间：120（分钟）
第一部分选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 直线方向向量是（）
A. B. C. D.
3. “”是“两条直线，平行”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
5. 直线关于对称直线，直线的方程是（）
A. B.
C. D.
6. 若P是所在平面外一点，且，，则点P在所在平面内的射影O是的（）
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
7. 四边形ABCD是矩形，，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕旋转至与四边形重合，则直线所成角在旋转过程中（）
A逐步变大 B. 逐步变小
C. 先变小后变大 D. 先变大后变小
8. 半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的有（）
A. 若向量、与空间任意向量都不能构成一组基，则
B. 若非零向量，，满足，，则有
C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件
D. 若是空间的一组基，则也是空间的一组基
10. 用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）
A直角三角形 B. 直角梯形 C. 正五边形 D. 正六边形
11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
第二部分非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设直线，的方向向量分别为，，若，则__________.
13. 有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.
14. 如图，已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面，交线段于点，交，的延长线于，两点.则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线．
（1）若直线不经过第一象限，求k的取值范围；
（2）若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程．
16如图，平面，，，，，．
（1）求证：平面ADE；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
17. 如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，.
（1）若M为中点，求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的大小；
（3）设平面平面，试判断l与平面能否垂直？并证明你的结论.
18. 如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．
（1）若为中点，求证：；
（2）若平面，求线段长度的最小值．
19. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面的一般式方程.
（2）求到直线的距离.
（3）在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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2024-2025学年度上学期期中考试
高二数学试卷
满分：150分考试时间：120（分钟）
第一部分选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】D
8.
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】AD
10.
【答案】ABC
11.
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】(1)验证时，直线是否符合要求，当时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.
【小问1详解】
当时，方程可化为，不经过第一象限；
当时，方程可化为，
要使直线不经过第一象限，则
解得．
综上，k的取值范围为．
【小问2详解】
由题意可得，
由取得，
取得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
综上，此时，直线的方程为．
16.
【解析】
【分析】（1）根据题意可利用面面平行的判定定理证明平面平面ADE，再由面面平行的性质可得结论；
（2）由几何体特征建立以为原点的空间直角坐标系，利用空间向量求出直线的方向向量与平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
由，平面，平面，则平面，
由，平面，平面，则平面，
而，平面，
故平面平面，
又平面BCF，则平面；
【小问2详解】
平面ABCD，平面，
则，，又，
以为原点，分别以为轴构建空间直角坐标系，如下图所示：
又，，
所以，，，，
则，，，
令平面的一个法向量，则，
令，则，即，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17.
【解析】
【分析】（1）先证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用线线平行可得是直线与直线所成角，利用面面垂直可得，结合已知条件可得，利用线面垂直可得，可得出的值，即可求解.
（3）根据题意可得，利用平行的传递性，可证明平面.
【小问1详解】
连结，交于，连接，
∵为矩形，∴为的中点，
在中，，分别为，的中点，
∴，
因为面，面，
所以平面.
【小问2详解】
∵，∴，
∴是直线与直线所成角.
∵为矩形，∴，
∵平面平面，
又平面，平面平面，
∴平面，
∵平面，∴，，
在中，∵，，∴，
∵，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，
在中，∵，∴，
∴，从而直线与直线所成的角为；
【小问3详解】
l与平面垂直.证明如下：
∵为矩形，∴，
∵平面，平面，∴平面，
平面，∵平面平面，
∴，则，
由（2）可知平面，∴平面.
18.
【解析】
【分析】（1）由条件先求，，，再证明，由此完成证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，求平面的法向量和直线的方向向量，由条件列方程确定的关系，再求的最小值即可.
【小问1详解】
由已知，，，，
所以，
，
，
因为为中点，
所以，
又，
所以，
所以
所以
【小问2详解】
连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
连接，
由正方形的性质可得三点共线，为的中点，
所以，
由第一问，
平面，，
所以平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
、、、、
，
设平面法向量为，，
则，所以，
∴，
令，则，．
∴为平面的一个法向量，
因为点在平面内，
故设点的坐标为，
因为，
所以，
，则，
所以，
所以当时，有最小值，最小值为.
19.
【解析】
【分析】（1）根据直线与平面所成的角求得，根据平面的点法式方程求得正确答案.
（2）利用等面积法来求得到直线的距离.
（3）设出点的坐标，利用面面垂直列方程，化简求得正确答案.
【小问1详解】
由于平面，
所以平面，所以是直线与平面所成角，
所以，所以.
所以，
所以,
，设平面的法向量为，
则，故可设，平面，
则平面的方程为，
即.
【小问2详解】
在中，，，
设到的距离为，则，
由于平行四边形和平行四边形全等，
所以到直线的距离等于设到的距离，
即到直线的距离为.
【小问3详解】
，，，，
即，而，
所以，
设，则，即，
所以，，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设.
设平面的法向量为，
则，故可设，
若平面平面，则，
即，
解得，负根舍去，
所以存在符合题意的点，且.
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