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2024-2025八年级上册数学期末测试卷【培优卷】
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025八年级上册数学期末测试卷【培优卷】
【浙教版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1~5章全部内容
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4 B． C．8 D．10
3．如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在 ABC中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在△外的处，折痕为．如果， ，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（新情景试题 程序题型）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABC中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③若，则；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．（新情景试题 生活应用型）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ．
12．（新情景试题 跨学科交叉型）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时．
13．已知点在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 ．
14．如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
15．如图，在 ABC中，∠B=90°，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ．
16．如图，是 ABC的中线，，，则的取值范围是 ．
17．如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ．
18．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将 ABC沿着翻折得 AB C，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知关于的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
20．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．
(1)求证：是线段的垂直平分线；
(2)若对角线，，求四边形的面积．
21．（新情景试题 生活应用型）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
22．如图1，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P为线段上一动点，若，求点P的坐标；
(3)如图3，点Q为直线上一动点，当时，求点Q的坐标．
23．如图， ABC中，，现有两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
(2)当点在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间．
24．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
25．综合与实践
【情境再现】
如图，的平分线与的外角的平分线相交于点．
【提出问题】
试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程．
【数学感悟】
如图，在 ABC中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数．
【学以致用】
如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______．中小学教育资源及组卷应用平台
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【浙教版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1~5章全部内容
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论．
【详解】解：连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
2．若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4 B． C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组、分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值．
【详解】解：解不等式组得，
∵不等式组的解集为，
∴ ，
解得，
解关于y的分式方程 ，
得，
∵分式方程的解为正整数，
∴且，
∴且，
，
或或，
所有满足条件的整数a的值有：，，，
符合条件的所有整数a的和为．故选：B．
3．如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，证明，得到，，即可求出点的坐标．
【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，则，，，
∵将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
4．一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图像，解题的关键是掌握一次函数、正比例的图像与系数的关系．根据一次函数的图像与系数的关系，由一次函数图像分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图像是否正确，进而比较可得答案．
【详解】解：A、由一次函数图像可知，，，，故；正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意；
B、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像不满足这一关系，故此选项符合题意；
C、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意；
D、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长．
【详解】由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故选：D．
6．如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵ ABC， ADE都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值，
故选：B．
7．如图所示，在 ABC中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据三角形中线的性质得出，，，，即可求出△的面积，再根据三角形中线的性质即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：点为边的中点，
，，
点为边的中点，
，，
，
点为边的中点，
，
故选：．
8．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在△外的处，折痕为．如果， ，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键．
由折叠的性质可得，根据三角形外角的性质可得，最后再根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：如图：将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的处，
∴，
∴，
∴．
故选A．
9．（新情景试题 程序题型）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次不等式组．
10．如图，在 ABC中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③若，则；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质及角平分线的性质，先根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理得到，然后结合三角形的全等，逐一判断每个结论即可．
【详解】解：设，，
平分交于点，平分交于点，，
，，，
；
在中，，
故①说法正确，符合题意；
是的角平分线，不是三角形的中线，
与不一定相等，故与不一定相等，
故②说法错误，不符合题意；
若，则，
∵平分，
∴，
∴，
，
，
故③说法正确，符合题意；
如图1所示，在边上取，连接，
平分，，
，
，，
∵，
，
，
又平分，
∴，
，
，，
，
故④说法正确，符合题意；
过作于，于，
∵，
∴，
∵，，
，
故⑤说法正确，符合题意；
综上，说法正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．（新情景试题 生活应用型）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查镜面对称，解决此类问题应认真观察，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据镜面对称的性质可知在平面镜内的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：实际时间是；
故答案为．
12．（新情景试题 跨学科交叉型）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时．
【答案】40
【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度．
本题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答．
【详解】解：如图，
甲的速度是海里时，时间是小时，
海里．
，，
．
海里，
海里．
乙船也用小时，
乙船的速度是40海里时，
故答案为：40．
13．已知点在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标，根据点在第一象限内，且到两坐标轴的距离之和为4列方程求解即可．
【详解】解：∵点在第一象限内，且到两坐标轴的距离之和为4，
∴，
解得．
故答案为：
14．如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系．观察图象得：一次函数与的图象交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
【详解】解：观察图象得：一次函数与的图象交于点，
∴二元一次方程组的解是．
故答案为：．
15．如图，在 ABC中，∠B=90°，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，角平分线的性质定理，作于，由三角形面积公式求出，由作图可得：平分，再由角平分线的性质定理即可得解．
【详解】解：如图，作于，
∵，，
∴，
由作图可得：平分，
∵，，
∴，
故答案为：．
16．如图，是 ABC的中线，，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形三边关系，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
∴，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
17．如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键．
分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解．
【详解】解：分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，则，，，，，则的周长的最小值，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
的周长，
∴．
∴的周长的最小值是3．
18．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将 ABC沿着翻折得 AB C，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数与轴对称性质的综合应用，能够综合题中条件作出辅助线并巧妙的借助勾股定理建立方程是本题的关键．
先灵活运用直线方程求出与坐标轴的交点坐标，明确各点坐标．再利用翻折的性质得到，，从而建立起等量关系．最后巧妙借助勾股定理，求出长度表达式，利用，最终通过建立方程求解得出点的坐标．
【详解】解：过点作轴，垂足为点．
令，则，
解得：．
．
令，则．
．
，．
由勾股定理可得：
．
沿着翻折得．
．
设 ．
在中，，即．
在中，，即．
，
解得：．
．
．
设，则．
由勾股定理得：．
即．
，
解得：．
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知关于的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可.
（1）方程组，得：，进而得，即可求解；
（2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可．
【详解】（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：
20．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．
(1)求证：是线段的垂直平分线；
(2)若对角线，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质：
（1）证明全等得到，，即可证明；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，再根据，，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线；
（2）解：由（1）知是线段的垂直平分线，
，，
，，
四边形的面积
．
21．（新情景试题 生活应用型）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元
(2)能，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台或采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键．
（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意，列不等式组求解．
【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；
（2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：，
应为整数，
或
当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台；
当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台．
22．如图1，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P为线段上一动点，若，求点P的坐标；
(3)如图3，点Q为直线上一动点，当时，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）先求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而得到，，，设点，再分当点在线段上时，当点在的延长线上时，两种情况根据三角形面积之间的关系建立方程求解即可；
（3）如图，当点在点右侧时，证明，得到，则点在直线上；如图，当点在点左侧时，证明，由勾股定理得，利用等面积法得到，设，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
点，，，
，，
，
设点，当点在线段上时，
，
，
解得，
点；
当点在的延长线上时，
，
，
解得，
点，
综上所述：点坐标为或；
（3）解：如图，当点在点右侧时，
，
，
，
，
，
∴垂直平分，
点在直线上，
，解得，
；
如图，当点在点左侧时，
，，
，
，
在中，由勾股定理得
，
，
，
设，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
23．如图， ABC中，，现有两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
(2)当点在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间．
【答案】(1)M、N运动12秒时，M、N两点重合
(2)存在；M、N运动16秒时，为等腰三角形
【分析】此题主要考查了等边三角形和全等三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，找到线段之间的数量关系．
（1）设点运动秒时，根据、两点重合时，N运动的路程比M运动的路程多列出方程，解方程即可；
（2）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出的长，列出方程，可解出未知数的值．
【详解】（1）解：设点运动秒时，M、N两点重合，根据题意得：
,
解得：，
∴点运动12秒时，M、N两点重合．
（2）解：当点在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
根据解析（1）可知，当点运动12秒时，M、N两点重合，此时，但不是等腰三角形；
如图，假设是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
∵，
∴，
∴，
设当点在边上运动时运动的时间y秒时，是等腰三角形，
∴，，
，即，
解得：．
综上所述，当点在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时运动的时间为16秒．
24．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)；；
(2)见解析
(3)27
【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
（1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可；
（2），列式计算即可证明；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可．
【详解】（1）解：方法1：；
方法2：；
∵，即，
故；
根据以上信息，可以得到等式：；
故答案为：；；；
（2）解：∵，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为27．
25．综合与实践
【情境再现】
如图，的平分线与的外角的平分线相交于点．
【提出问题】
试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程．
【数学感悟】
如图，在 ABC中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数．
【学以致用】
如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______．
【答案】
；；．
【分析】根据三角形外角的性质可得、，根据角平分线的定义可得、，所以可得，从而可得；
延长到，根据角平分线的定义可得，从而可得平分、平分，构造出中的模型，由中的结论可知；
过点作、、，根据、，可得平分，构造出中的模型，由中的结论可知．
【详解】解：，
理由如下：
如下图所示，
是的外角，
，
是的外角，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
解：如下图所示，延长到点，
，
，
又平分，
，
平分，
又平分，
由可知，
根据折叠可知
，
，
，
解得：，
；
解：如下图所示，过点
作垂足为点，
垂足为点，垂足为点，
，，
，
平分，
平分，，
由（1）知
，
平分，
平分，
，
，
平分，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及判定定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，邻补角性质，解决本题的关键是根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和、角平分线把一个角分成两个相等的角，找到角之间的关系；另外还要作辅助线构造出中的模型．/ 让教学更有效
2024-2025八年级上册数学期末测试卷【培优卷】
【浙教版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1~5章全部内容
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4 B． C．8 D．10
3．如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在 ABC中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在△外的处，折痕为．如果， ，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（新情景试题 程序题型）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABC中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③若，则；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．（新情景试题 生活应用型）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ．
12．（新情景试题 跨学科交叉型）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时．
13．已知点在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 ．
14．如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
15．如图，在 ABC中，∠B=90°，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ．
16．如图，是 ABC的中线，，，则的取值范围是 ．
17．如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ．
18．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将 ABC沿着翻折得 AB C，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知关于的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
20．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．
(1)求证：是线段的垂直平分线；
(2)若对角线，，求四边形的面积．
21．（新情景试题 生活应用型）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
22．如图1，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P为线段上一动点，若，求点P的坐标；
(3)如图3，点Q为直线上一动点，当时，求点Q的坐标．
23．如图， ABC中，，现有两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
(2)当点在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间．
24．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
25．综合与实践
【情境再现】
如图，的平分线与的外角的平分线相交于点．
【提出问题】
试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程．
【数学感悟】
如图，在 ABC中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数．
【学以致用】
如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______．2024-2025八年级上册数学期末测试卷【培优卷】
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
D
A
C
0
B
B
B
B
A
X
X
C
C
图1
图2
图3
C
B
←-W/ 让教学更有效
2024-2025八年级上册数学期末测试卷【培优卷】
【浙教版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1~5章全部内容
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4 B． C．8 D．10
3．如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在 ABC中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在△外的处，折痕为．如果， ，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（新情景试题 程序题型）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABC中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③若，则；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．（新情景试题 生活应用型）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ．
12．（新情景试题 跨学科交叉型）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时．
13．已知点在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 ．
14．如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
15．如图，在 ABC中，∠B=90°，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ．
16．如图，是 ABC的中线，，，则的取值范围是 ．
17．如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ．
18．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将 ABC沿着翻折得 AB C，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知关于的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
20．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．
(1)求证：是线段的垂直平分线；
(2)若对角线，，求四边形的面积．
21．（新情景试题 生活应用型）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
22．如图1，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P为线段上一动点，若，求点P的坐标；
(3)如图3，点Q为直线上一动点，当时，求点Q的坐标．
23．如图， ABC中，，现有两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
(2)当点在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间．
24．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
25．综合与实践
【情境再现】
如图，的平分线与的外角的平分线相交于点．
【提出问题】
试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程．
【数学感悟】
如图，在 ABC中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数．
【学以致用】
如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______．
