选择必修第二册 第四章 4.3.1 等比数列的概念（第2课时 ) 课件(共31张PPT)
文档属性
| 名称 | 选择必修第二册 第四章 4.3.1 等比数列的概念（第2课时 ) 课件(共31张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-21 17:11:16 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
选择必修2
第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握等比数列的相关性质，并能灵活运用． 1.数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.会运用等比数列解决一些实际问题. 2.数学抽象素养和化归与转化素养.
温故知新
等比数列
定义
符号表示
公比
通项公式
等比中项
通项公式推导方法
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列
(n≥2，).
().
an=a1qn-1.
.
公比q可正、可负但不可为零
G是a与b的等比中项 G2=ab(ab>0).
不完全归纳法
累乘法
温故知新
当q=1时，等比数列{an}是非零常数数列，不具备单调性.
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以
存入本金 ： a元，
第1期末本利和： a+ar=a(1+r)，
第2期末本利和：a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2 元，
第3期末本利和：a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3 元，
……
每一期的本金与利息的和构成等比数列.
这个等比数列的首项是a(1+r)，公比是(1+r).
可得通项公式为an=a(1+r)(1+r)n -1=a(1+r)n .
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
分析：⑴ 实际问题
数学问题
设本利和组成数列
“用 10000元购买某个理财产品”
本金10000
“月利率”
12个月能获得的本利和
的值
“12个月能获得的利息”
利息=本利和-本金
=
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
解：
⑴设这笔钱存n个月以后的本金利息和组成一个数列{an }，
则{an }是等比数列，
首项a1=104(1+0.4％)，公比q=1+0.4%,
所以a12=a1q11=104(1+0.4％)12≈10490.702.
所以，12个月后的利息为10490.702-104≈490.7（元）.
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
分析：⑵ 实际问题
数学问题
设本利和组成数列
“季度利息”
设为r，公比是(1+r)
存4个季度的本利和
b4
“存4个季度结算的利息”
b4 -a
“按季结算的利息不少于按月结算的利息”
b4 -a ≥a12-a
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
解：
⑵设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金利息和组成一个数列{bn }，
则{bn }也是等比数列，
首项b1=104(1+r)，，公比1+r,
于是b4=104(1+r)4 .
所以，当季度利率不小于1.205％时，按季结算得利息不少于按月结算得利息.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
[104(1+r)4 -104]元.
解不等式104(1+r)4 -104 ≥490.7，得
r≥1.205%.
新知探究
对实际问题抽象、简化
梳理出变量之间的关系
将复利问题转化为相应的等比数列模型
用数学模型解释现实生活中的种种现象和规律
用数学方法解决它
确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子
初试身手
设从2024年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则
1.某工厂2024年1月的生产总值为a万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2025年8月底该厂的生产总值为多少万元？
∴2025年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．
解：
an＋1＝an＋anm%=(1+m%)an，
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．
∴1+m%.
∴an＝a(1＋m%)n－1.
知新探究
【例2】已知数列{an}的首项a1=3.
⑴若{an }为等差数列,公差d=2 ，证明数列{}为等比数列；
⑵若 {an }为等比数列 ,公 比q=,证明数列{log3an }为等差数列.
分析：证明等比数列有如下方法：
①定义法：为等比数列.
②等比中项法：为等比数列.
③通项公式法：为等比数列.
根据题意，本题需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识证明.
知新探究
【例2】已知数列{an}的首项a1=3.
⑴若{an }为等差数列,公差d=2 ，证明数列{}为等比数列；
⑵若 {an }为等比数列 ,公 比q=,证明数列{log3an }为等差数列.
解：
⑴由a1=3 ，d=2 ，{an }的通项公式为an=2n+1.
9,
又b1=33=27，
设bn==32n+1，则
所以数列{}是以27为首项， 9为公比的等比数列.
知新探究
【例2】已知数列{an}的首项a1=3.
⑴若{an }为等差数列,公差d=2 ，证明数列{}为等比数列；
⑵若 {an }为等比数列 ,公 比q=,证明数列{log3an }为等差数列.
解：
⑵由a1=3 ，q= ，得
,
所以log3an-log3an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2.
an=.
两边同时取以3为底的对数，得
所以数列{log3an }是首项为1， 公比为-2的等差数列.
又log3a1=log33=1，
知新探究
已知如果数列为等差数列，那么数列是否一定为等比数列？如果数列是各项均为正数的等比数列，那么数列是否一定为等差数列？
解：
数列一定为等比数列.
证明：设等差数列{an }首项为a1 ，公差为d，则
.
所以， 是以为首项， 为公比的等比数列.
数列是等差数列
数列是等比数列
知新探究
已知如果数列为等差数列，那么数列是否一定为等比数列？如果数列是各项均为正数的等比数列，那么数列是否一定为等差数列？
解：
数列一定为等差数列.
证明：设等比数列{an }首项为a1 ，公比为q，则
.
所以， 是首项为， 公差为的等差数列.
数列是各项均为正
的等比数列
数列是等差数列
初试身手
⑴证明：由a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，得
2.已知a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1．
⑴证明：数列{an－n}是等比数列；
⑵求数列{an}的通项公式．
an－n=1×4n-1=4n-1.
解：
⑵由⑴可得
∴,
a1-1＝1，an＋1-(n+1)=4(an-n)，
∴数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.
∴an=4n-1+n.
知新探究
【例3】某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加
0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解：
设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}、{bn}，由题意，知
an=1050×1.05n-1,
bn=1-[90％+0.4％(n-1)]=0.104-0.004n.其中n=1,2，…，24，
分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}、{bn}，则各月不合格品的数量构成数列{anbn}.由题意得，数列{an}是等比数列，{bn}是等差数列.由于数列{anbn}既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻找问题的解决方法.
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)=1.05n×(104-4n)
知新探究
【例3】某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加
0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解：
由计算工具计算（精确到0.10）,并列表（如下表）.
观察发现,数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，
{anbn}递减，且a13b13<100即可.
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)=1.05n×(104-4n)
知新探究
【例3】某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加
0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解：
得n>5.
观察发现,数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，
{anbn}递减，且a13b13<100即可.
所以，当n≥6时，{anbn}递减.
由.
又a13b13≈98<100，
所以，当13≤n≤24时，anbn≤a13b13<100.
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内.
初试身手
设该养猪场从2021年起每年年初猪的存栏数依次为a1,a2,a3,…,由题意可得
3.某养猪场2021年年初猪的存栏数为1500,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头,则2036年年初猪的存栏数约为(参考数据:1.0814≈2.9,1.0815≈3.2，1.0816≈3.4) ( )
A.2050 B.2150 C.2250 D.2350
2036年年初即n=16,
解：
∴an-1250=250·1.08n-1.
即an+1-1250=1.08(an-1250),
an+1=an×(1+8%)-100，
∴数列{an-1250}是首项为a1-1250=250,公比为1.08的等比数列.
∴a16=250×1.0815+1250≈2050.故选A.
知新探究
等比数列的性质
⑴若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
⑵在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
⑶若等比数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
⑷在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
⑸在等比数列{an}中，当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．
知新探究
【例4】⑴已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7 C．6 D．±5
⑵已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
解：
所以.
⑴方法1：由等比中项的性质知a1a2a3＝＝5，a7a8a9＝＝10，
所以，a4a5a6＝.
所以，(a4a5a6)2=(a1a2a3)·(a7a8a9)=50，
方法2：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，
又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝.
故选A.
故选A.
知新探究
【例4】⑴已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7 C．6 D．±5
⑵已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
解：
即．
⑵方法1：由a5·a2n－5＝22n，得
又an＞0，所以an＝=2n.
则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
知新探究
【例4】⑴已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7 C．6 D．±5
⑵已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
解：
取特殊值，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4.只有C选项符合．
⑵方法2：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.
方法3：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.
于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
初试身手
⑴由a2a15=a7a10,得
3.在等比数列{an}中．
⑴a2＝3，a7a10＝36，则a15等于( )
A．12 B．6 C．－12 D．－6
⑵若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＝________．
=12.
解：
⑵∵,
∴.
由等比数列的性质，得a7a10=a8a9,
故选A.
课堂小结
1.等比数列的证明.
2.等比数列的有关计算问题.
3.等比数列的性质.
4.等比数列的应用问题.
作业布置
作业： P34 练习 第2,3,4，5题
补充：
已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
⑴证明：a1＝b1；
⑵求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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选择必修2
第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握等比数列的相关性质，并能灵活运用． 1.数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.会运用等比数列解决一些实际问题. 2.数学抽象素养和化归与转化素养.
温故知新
等比数列
定义
符号表示
公比
通项公式
等比中项
通项公式推导方法
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列
(n≥2，).
().
an=a1qn-1.
.
公比q可正、可负但不可为零
G是a与b的等比中项 G2=ab(ab>0).
不完全归纳法
累乘法
温故知新
当q=1时，等比数列{an}是非零常数数列，不具备单调性.
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以
存入本金 ： a元，
第1期末本利和： a+ar=a(1+r)，
第2期末本利和：a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2 元，
第3期末本利和：a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3 元，
……
每一期的本金与利息的和构成等比数列.
这个等比数列的首项是a(1+r)，公比是(1+r).
可得通项公式为an=a(1+r)(1+r)n -1=a(1+r)n .
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
分析：⑴ 实际问题
数学问题
设本利和组成数列
“用 10000元购买某个理财产品”
本金10000
“月利率”
12个月能获得的本利和
的值
“12个月能获得的利息”
利息=本利和-本金
=
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
解：
⑴设这笔钱存n个月以后的本金利息和组成一个数列{an }，
则{an }是等比数列，
首项a1=104(1+0.4％)，公比q=1+0.4%,
所以a12=a1q11=104(1+0.4％)12≈10490.702.
所以，12个月后的利息为10490.702-104≈490.7（元）.
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
分析：⑵ 实际问题
数学问题
设本利和组成数列
“季度利息”
设为r，公比是(1+r)
存4个季度的本利和
b4
“存4个季度结算的利息”
b4 -a
“按季结算的利息不少于按月结算的利息”
b4 -a ≥a12-a
新知探究
【例1】用10000元购买某个理财产品一年.
⑴若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
⑵若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于⑴中按月结算的利息（精确到10-5）？
解：
⑵设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金利息和组成一个数列{bn }，
则{bn }也是等比数列，
首项b1=104(1+r)，，公比1+r,
于是b4=104(1+r)4 .
所以，当季度利率不小于1.205％时，按季结算得利息不少于按月结算得利息.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
[104(1+r)4 -104]元.
解不等式104(1+r)4 -104 ≥490.7，得
r≥1.205%.
新知探究
对实际问题抽象、简化
梳理出变量之间的关系
将复利问题转化为相应的等比数列模型
用数学模型解释现实生活中的种种现象和规律
用数学方法解决它
确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子
初试身手
设从2024年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则
1.某工厂2024年1月的生产总值为a万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2025年8月底该厂的生产总值为多少万元？
∴2025年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．
解：
an＋1＝an＋anm%=(1+m%)an，
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．
∴1+m%.
∴an＝a(1＋m%)n－1.
知新探究
【例2】已知数列{an}的首项a1=3.
⑴若{an }为等差数列,公差d=2 ，证明数列{}为等比数列；
⑵若 {an }为等比数列 ,公 比q=,证明数列{log3an }为等差数列.
分析：证明等比数列有如下方法：
①定义法：为等比数列.
②等比中项法：为等比数列.
③通项公式法：为等比数列.
根据题意，本题需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识证明.
知新探究
【例2】已知数列{an}的首项a1=3.
⑴若{an }为等差数列,公差d=2 ，证明数列{}为等比数列；
⑵若 {an }为等比数列 ,公 比q=,证明数列{log3an }为等差数列.
解：
⑴由a1=3 ，d=2 ，{an }的通项公式为an=2n+1.
9,
又b1=33=27，
设bn==32n+1，则
所以数列{}是以27为首项， 9为公比的等比数列.
知新探究
【例2】已知数列{an}的首项a1=3.
⑴若{an }为等差数列,公差d=2 ，证明数列{}为等比数列；
⑵若 {an }为等比数列 ,公 比q=,证明数列{log3an }为等差数列.
解：
⑵由a1=3 ，q= ，得
,
所以log3an-log3an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2.
an=.
两边同时取以3为底的对数，得
所以数列{log3an }是首项为1， 公比为-2的等差数列.
又log3a1=log33=1，
知新探究
已知如果数列为等差数列，那么数列是否一定为等比数列？如果数列是各项均为正数的等比数列，那么数列是否一定为等差数列？
解：
数列一定为等比数列.
证明：设等差数列{an }首项为a1 ，公差为d，则
.
所以， 是以为首项， 为公比的等比数列.
数列是等差数列
数列是等比数列
知新探究
已知如果数列为等差数列，那么数列是否一定为等比数列？如果数列是各项均为正数的等比数列，那么数列是否一定为等差数列？
解：
数列一定为等差数列.
证明：设等比数列{an }首项为a1 ，公比为q，则
.
所以， 是首项为， 公差为的等差数列.
数列是各项均为正
的等比数列
数列是等差数列
初试身手
⑴证明：由a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，得
2.已知a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1．
⑴证明：数列{an－n}是等比数列；
⑵求数列{an}的通项公式．
an－n=1×4n-1=4n-1.
解：
⑵由⑴可得
∴,
a1-1＝1，an＋1-(n+1)=4(an-n)，
∴数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.
∴an=4n-1+n.
知新探究
【例3】某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加
0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解：
设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}、{bn}，由题意，知
an=1050×1.05n-1,
bn=1-[90％+0.4％(n-1)]=0.104-0.004n.其中n=1,2，…，24，
分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}、{bn}，则各月不合格品的数量构成数列{anbn}.由题意得，数列{an}是等比数列，{bn}是等差数列.由于数列{anbn}既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻找问题的解决方法.
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)=1.05n×(104-4n)
知新探究
【例3】某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加
0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解：
由计算工具计算（精确到0.10）,并列表（如下表）.
观察发现,数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，
{anbn}递减，且a13b13<100即可.
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)=1.05n×(104-4n)
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【例3】某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加
0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解：
得n>5.
观察发现,数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，
{anbn}递减，且a13b13<100即可.
所以，当n≥6时，{anbn}递减.
由.
又a13b13≈98<100，
所以，当13≤n≤24时，anbn≤a13b13<100.
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内.
初试身手
设该养猪场从2021年起每年年初猪的存栏数依次为a1,a2,a3,…,由题意可得
3.某养猪场2021年年初猪的存栏数为1500,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头,则2036年年初猪的存栏数约为(参考数据:1.0814≈2.9,1.0815≈3.2，1.0816≈3.4) ( )
A.2050 B.2150 C.2250 D.2350
2036年年初即n=16,
解：
∴an-1250=250·1.08n-1.
即an+1-1250=1.08(an-1250),
an+1=an×(1+8%)-100，
∴数列{an-1250}是首项为a1-1250=250,公比为1.08的等比数列.
∴a16=250×1.0815+1250≈2050.故选A.
知新探究
等比数列的性质
⑴若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
⑵在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
⑶若等比数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
⑷在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
⑸在等比数列{an}中，当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．
知新探究
【例4】⑴已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7 C．6 D．±5
⑵已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
解：
所以.
⑴方法1：由等比中项的性质知a1a2a3＝＝5，a7a8a9＝＝10，
所以，a4a5a6＝.
所以，(a4a5a6)2=(a1a2a3)·(a7a8a9)=50，
方法2：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，
又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝.
故选A.
故选A.
知新探究
【例4】⑴已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7 C．6 D．±5
⑵已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
解：
即．
⑵方法1：由a5·a2n－5＝22n，得
又an＞0，所以an＝=2n.
则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
知新探究
【例4】⑴已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7 C．6 D．±5
⑵已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
解：
取特殊值，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4.只有C选项符合．
⑵方法2：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.
方法3：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.
于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
初试身手
⑴由a2a15=a7a10,得
3.在等比数列{an}中．
⑴a2＝3，a7a10＝36，则a15等于( )
A．12 B．6 C．－12 D．－6
⑵若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＝________．
=12.
解：
⑵∵,
∴.
由等比数列的性质，得a7a10=a8a9,
故选A.
课堂小结
1.等比数列的证明.
2.等比数列的有关计算问题.
3.等比数列的性质.
4.等比数列的应用问题.
作业布置
作业： P34 练习 第2,3,4，5题
补充：
已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
⑴证明：a1＝b1；
⑵求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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