2024-2025学年湖南省多校联考高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省多校联考高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若函数，则( )
A. B. C. D.
3.若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为( )
A. B.
C. D.
4.若函数满足，则( )
A. B. C. D.
5.若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为( )
A. B. C. D.
6.函数的值域为( )
A. B. C. D.
7.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的大致图象如图所示，若在上单调递增，则的值可以为( )
A.
B.
C.
D.
10.设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”下列函数中，为“循环函数”的有( )
A. B. C. D.
11.已知，，且不等式恒成立，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题：，，则的否定为______，为______填入“真”或“假”命题．
13.设集合，，，，均为质数的真子集的个数为______．
14.已知函数，若不等式成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
求；
若，求．
16.本小题分
已知函数的图象经过点，函数．
证明：，均为幂函数．
判断函数的奇偶性，说明你的理由．
若，求的最小值．
17.本小题分
梅州金柚、德庆贡柑、信宜三华李、紫金春甜桔、连平鹰嘴蜜桃、阳春马水桔、云安沙糖桔、高州储良龙眼、从化荔枝、徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”眼下正值梅州金柚热销之时，某水果网店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表：
购买的金柚重量 金柚单价元
不超过的部分
超过但不超过的部分
超过的部分
记顾客购买的金柚重量为，消费额为元．
求函数的解析式．
已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为、请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额．
18.本小题分
已知函数，，
用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减．
当时，写出的单调区间．
若在上为单调函数，求的取值范围．
求函数的最大值与最小值之差．
19.本小题分
对于个集合，，，，，定义其交集：；定义其并集：．
若集合，求，；
若集合，，且，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.， 真
13.
14.
15.解：全集，集合，．
可得，则，
所以．
由题意得，
因为，所以．
由，得且，
所以，解得舍去．
16.证明：由的图象经过点，
得，则，此时，，
即，均为幂函数．
解：函数，
由，得或，定义域关于原点对称，
且，为偶函数．
解：由，可知，，
且，则，即．
当且仅当，即，时等号成立．
故的最小值为．
17.解：当时，；
当时，；
当时，．
故；
当甲、乙一起购买时，消费总额为元．
当甲、乙两人分开购买时，消费总额为元．
因为，所以甲、乙一起购买的消费总额最少，此时的消费总额为元．
18.证明：当时，，
设，是区间上任意两个实数，且，
则，于是，
由函数单调性的定义可知，函数在区间上单调递减；
解：当时，，
所以的单调递增区间为的单调递减区间为；
，
由，得或，
由题意得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为在上为单调函数，所以在上为增函数，
所以，即的取值范围是；
由，得，
即，
当时，，则，
当时，，则，解得且，
综上，的取值范围是，即的最大值为，最小值为，
故的最大值与最小值之差为．
19.解：对于个集合，，，，，定义其交集：
，
定义其并集：，
，，，，，
．
，，，，，．
当时，；
当时，．
若，则由，得，不等式恒成立．
若，则由，可得，解得．
，且，的最大值为．
第1页，共1页