2024-2025学年广西柳州市柳城中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西柳州市柳城中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆的一般方程为，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
2.等差数列中，若，，则公差( )
A. B. C. D.
3.中国古代数学名著张邱建算经中有如下问题：今有十等人，每等一人，官赐金以等次差降之等差数列，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给则第一等人得金最多者得金斤数是( )
A. B. C. D.
4.已知直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是( )
A. B. C. D.
7.、、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
8.与圆及圆都外切的圆的圆心在( )
A. 一个椭圆上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 双曲线的一支上
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量
C. 若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量
D. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量
10.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围( )
A. B. C. D.
11.如图，已知直线：和椭圆：，为何值时，下列结论正确( )
A. 当时，直线与椭圆有两个公共点
B. 当或时，直线与椭圆只有一个公共点
C. 当或时，直线与椭圆没有公共点
D. 当时，直线与椭圆有公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列中，，，则 ______．
13.如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角， ______．
14.如图，三棱锥中，，，点，分别是，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和，求这个数列的通项公式；
已知数列的通项公式为，前项和为，求取得最小值时的值．
16.本小题分
如图，圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
当变化时，指出方程表示的曲线的形状．
17.本小题分
已知圆：，直线：，
求证：直线恒过定点；
判断直线被圆截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长．
18.本小题分
如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿对折至，使得．
证明：；
求面与所成的二面角的正弦值．
19.本小题分
已知和为椭圆：上两点．
求的离心率；
若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程．
参考答案
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15.解：数列的前项和，；
当时，，；
得：，
又时，不满足上式，
故数列的通项公式为．
当，，解得：，
当和时，，
所以取得最小值时，．
16.解：如图，连接，．
因为为的垂直平分线，所以，
所以为定值，
又因为点在圆外，所以，
根据双曲线定义到两个定点，的距离之差为定值定值，
可得点的轨迹是以，为焦点，为实轴长的双曲线；
对于方程，
当时，方程为，即，即方程表示轴；
当时，方程为，即，即方程表示轴；
当且时，方程为，
若，即时，方程为圆，
即方程表示以原点为圆心的单位圆；
若，即或时，
即方程方程表示双曲线；
若且时，即且时，
即方程表示椭圆；
综上，当时，表示轴；当时，表示轴；
时，方程表示以原点为圆心的单位圆；
或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆；
17.证明：直线的方程可化为，
由，解得，
所以直线恒过定点；
解：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，
由得直线恒过定点，设定点为点，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
，
直线的斜率为，
由，解得，
此时直线的方程是，
圆心到直线的距离为，
所以最短弦长是．
18.解：证明：在中，，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
由折叠的性质可知，
又，，面，
所以面，
又面，
所以．
，，，
所以，，
，
所以，
所以，
又因为，，，面，
所以面，
又面，
所以，
所以，，所在直线两两垂直，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系：
，，，，则，，
所以，，，，
设平面的法向量，
所以，
设，则，，
所以，
设平面的法向量，
所以，
设，则，，
所以，
设平面与平面所成的二面角为，
，，
所以．
19.解：依题意，，解得，
则离心率；
由可知，椭圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知此时，
点到直线的距离为，则，与易知矛盾；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
设，，
联立，消去整理可得，，
则，
由弦长公式可得，，
点到直线的距离为，
则，
解得或，
则直线的方程为或．
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