2024-2025学年广西县域高中高一上学期阶段评估数学试题（含答案）

2024-2025学年广西县域高中高一上学期阶段评估数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合( )
A. B. C. D.
2.已知函数 的 定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
4.、均为实数，则是的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知命题：，，则为 ．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.函数是上的单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.函数的图象可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.若，均为正数，且满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值是 D. 的最小值为
11.下列说法正确的是( )
A. 函数图象与直线最多有一个交点
B. 与是两个不同的函数
C. 若幂函数在上单调递增，则实数
D. 函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式是
13.不等式的解集是，则的解集为 ．
14.已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，，则不等式的解为
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和．
求的值；
若对于恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知集合，．
分别求，；
已知，若，求实数的取值集合．
17.本小题分
已知，，均为正实数，且求证：．
18.本小题分
设，证明：的充要条件是．
已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明．
19.本小题分
集合由有限个实数组成，定义集合的离距如下：实数轴上，集合中的每个实数对应一个点，实数对应的点与所有这些点的距离的算术平均数记为，称函数的最小值为集合的离距，记为例如，集合的离距是，集合的离距是．
分别求出集合的离距；
求数集的离距；
已知非空数集满足，试写出一个关于的大小关系的等式或不等式，并给出证明．
参考答案
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14.
15.【小问详解】
解：由二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和，
可得和是方程，则满足，解得．
【小问详解】
解：由得，函数，
因为对于恒成立，即在上恒成立，
当时，可得，所以，
解，解得或，所以实数的取值范围为

16.【小问详解】
因为，
所以，
【小问详解】
因为，所以
当，可知
所以实数的取值集合为

17.【详解】证明：因为，，均为正实数，
所以
，
当且仅当同时成立，
即时等号成立．

18.【详解】充分性：如果，
那么，
，
．
必要性：如果，
那么，
，
，，，

综上知，的充要条件是．
由
都是正实数，且，
即．

19.【小问详解】
首先，单元素数集的离距都是；
两元素数集的离距等于大数减去小数的差的一半；
三元素数集的离距等于最大数与最小数的差的三分之一．
理由及更一般的情况如下．
一般地，记，
则的最小值就是离距．
当时，；
当时，，
当仅当时取等号，故；
当时，，
当仅当时取等号，故当时最小等于，
故
更一般地，
由，
当或者时取等号，
知
当时取等号．
故
所以：；
【小问详解】
由知：不妨设，则；
【小问详解】
例如：集合的元素个数都是偶数时，，
反证：假设．
不妨设
，
，
又
故，
这与事实矛盾故假设不成立，原命题正确．

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