2024-2025学年湖南省长沙市湖南师大附中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南师大附中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.使成立的一个充分不必要条件的是
A. B. C. D.
4.下列命题为真命题的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.设集合，，均为的非空真子集，且，，则( )
A. B. C. D.
6.已知集合满足，且，则满足条件的集合有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知正实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.集合，，，则、、之间的关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D. 的解集为或
10.已知，，且，则下列说法正确的是
A. B.
C. 的最小值为 D.
11.对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则下列命题为真命题的是
A. 若，，则或
B. 若，且，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，且，则的值为 ．
13.若命题：“，不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是 ．
14.设集合，，若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，其中实数．
若，求集合；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知集合和非空集合，．
若命题：“，都有”为真命题，求实数的取值；
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，长沙湘江新区有一块半径为米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处图中阴影部分只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道设点到道路的距离为米，点到道路的距离为米．
当，求的值；
求面积的最大值，并求此时，的值．
18.本小题分
已知函数，．
若，当时，求的最小值；
求关于的不等式的解集；
当时，已知，，若，求的取值范围．
19.本小题分
已知二次函数，对，都有，且当时，．
求，的值；
存在，对任意，都有，求正实数的最大值；
若，是否存在正整数，使得为正整数？
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：当时，集合，或，
又集合，所以
因为，所以，则集合非空，
因为，所以或，
解得或，
又，所以，
故实数的取值范围是．
16.解：由题意知，
因为集合，所以或或．
当时，解得；
当时，无解；
当时，无解，
综上，．
由题意可得，，
所以
解得．
故实数的取值范围是．
17.解：设圆与道路、道路、直线的切点分为，，，连接，，，
由切线长定理可知，，则，
化简得，
把代入，解得．
由题有，，
由有，
解得，
当且仅当时等号成立，即，
解得，此时，，
则，
所以的面积的最大值为平方米，此时米

18.解：当时，
，
当且仅当，即时取等号，
故当时，的最小值为．
由题知，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得
综上，当时，原不等式解集为或
当时，原不等式解集为或
当时，原不等式解集为．
不等式可化为，
因为，所以不等式在时恒成立，
又，结合二次函数图象知，解得．
故的取值范围是．
19.解：由题知且，解得．
由知，在上恒成立，
当确定时，表示开口向上的二次函数，
当时，该函数的最大值必在端点处取到，
则只需在，处都成立即可．
当时，有，解得；
当时，有，解得；
其中在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以所以当，时满足上述不等式，
则的最大值为．
不存在，证明过程如下：
假设存在，设为正整数．
因为，所以为正整数，
则，即，
而，均为完全平方数，为正整数，
所以也为完全平方数，
又，即介于两个相邻的完全平方数之间，
不为完全平方数，矛盾，
所以当时，不存在正整数，使得为正整数．
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