湖南省长沙市明德集团2025届高三上学期11月阶段检测数学试卷（含答案）

明德中学2025届高三11月阶段检测
数学试卷
满分：150分 时间：120分钟 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于集合A，B，定义集合，已知集合，F={0,3,4,5}，则（ ）
A.{-1,0,2,3,4,5} B.{0,2,3,4,5} C.{-1,2,6} D.{-1,0,2,3,4}
2.已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A. B. C. D.
3.若命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4.已知直线和直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知数列，中，，，，，若，则m=（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
7.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（ ）（参考数据：，）
A.11分钟 B.10分钟 C.9分钟 D.8分钟
8.已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9，若，下列说法正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，则
10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.在上单调递减
C.的表达式可以写成
D.若关于x的方程在上有且只有4个实数根，则
11.如图，正方体透明容器ABCD-A1B1C1D1的棱长为8，E，F，G，M分别为AA1，AD，CC1，A1B1的中点，点N是棱C1D1上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A.B1C⊥BN
B.向量在向量上的投影向量为
C.将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为
D.向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列的前n项和为，且，则________.
13.已知椭圆C：，过左焦点F作直线l与圆M：相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且，则椭圆离心率为________.
14.编号为1,2,3,4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记m表示前两个球号码的平均数，记n表示三个球号码的平均数，则m与n之差的绝对值不超过0.2的概率是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，.
（1）求B；
（2）若，求△ABC的面积S取值范围.
16.（本小题15分）已知函数的导函数为，且.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
17.（本小题15分）如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点.
（1）证明：BC⊥DA；
（2）点F满足，求平面ABD与平面ABF所成角的正弦值.
18.（本小题17分）椭圆经过点，其右焦点为抛物线的焦点F；
直线l与椭圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点的直线m与椭圆交于C，D两点，且，求四边形ACBD面积的最大值.
19.（本小题17分）n维向量是平面向量和空间向量的推广，对n维向量，记，设集合.
（1）求，；
（2）（ⅰ）求中元素的个数；
（ⅱ）记，求使得成立的最大正整数n.
明德中学2025届高三11月阶段检测（答案）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A A B B B
8.【答案】B【详解】∵，，，
∴，
令，，∴在R上单调递增，
∴，即，∴，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴当时，函数取得最小值，即，
∴，故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
题号 9 10 11
答案 BD ABD AC
11.解：由正方体性质知：B1C⊥BC1，B1C⊥DC1且都在面ABC1D1内，所以B1C⊥面ABC1D1，面ABC1D1，则B1C⊥BN，A对；
由题意EM//AB1且，若O是B1C，BC1交点，连接OG，
所以OG//BC//AF，，故AFGO为平行四边形，则AO//FG且AO=FG，
所以EM，FG所成角，即为AB1，AO所成角，
由题设，易知，，，
在△AOB1中，即AB1，AO夹角为，
所以EM，FG夹角为，故向量在向量上的投影向量为
，B错；
令放在桌面上的项点为A，若AC1⊥桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，
此时要使容器内水的面积最大，即垂直于AC1的平面截正方体的截面积最大，
根据正方体的对称性，仅当截面过A1A1，BB1，BC，CD，DD1，A1D1中点时截面积最大，
此时，截面是边长为的正六边形，故最大面积为，C对；
由题意，第一层小球为8×8=64个，第二层小球为7×7=49，且奇数层均为64个，偶数层均为49，而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为，假设共有n层小球，则总高度为，且n为正整数，
令，则，而，故小球总共有10层，由上，相邻的两层小球共有113个，所以正方体一共可以放113×5=565个小球，D错.故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.170 13. 14.
14.解：因为放回的抽取小球，所以基本事件总数为，
设抽取的前两个球的号码为a，b，第三个球的号码为c，
根据题意有，，则，
整理得，即，
当时，，此时为，，，3种情况；
当时，，此时为，，，，，，，，，9种情况；
当时，，此时为，，，，，，，，，9种情况；
当时，，此时为，，，3种情况；
综上得，满足条件的共有3+9+3+9=24，所以满足条件的概率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）
【答案】（1） （2）
解：（1）由，
由正弦定理，可得，
因为C为三角形内角，所以，所以，
得，
因为，所以，所以. 6分
（2）∵，故，
∴，
所以
，
因为，所以，
∴，∴，∴，
故△ABC的面积S的取值范围为. 13分
16.（本小题15分）
【答案】（1） （2）
解：（1）求导得，
令，则，∴，
∴，∴，
∴，即：. 5分
（2）方法一，，
①当时，左边右边，不等式显然成立.
②当时，
令，
当时，，，∴，在上单调递减
∴，∴.
③当时，
令，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴，∴
综上：m的取值范围为. 15分
法二，令，∴，
令，所以恒成立，∴在上递增.
①若，即对，
∴在单调递减，∴，∴，
与矛盾，∴无解，舍去.
②若，即，
，，∴在上递增
∴，∴.
故.
③若即：时，
使得，，即：
∴，
即：，
∵，∴，∴，∴，
∴，故综上.
17.（本小题15分）
【答案】（1）证明见解析（2）
解：（1）连接AE，DE，
因为E为BC中点，DB=DC，所以DE⊥BC①，
因为DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，
∴AC=AB，从而AE⊥BC②，
由①②，，AE，平面ADE，所以BC⊥平面ADE，
而平面ADE，所以BC⊥DA. 6分
（2）不妨设，
∵BD⊥CD，∴BC=2，DE=1，
则，即AC⊥AB，则AE=1，
∴，∴AE⊥DE，
又∵AE⊥BC，，平面BCD
∴AE⊥平面BCD，
以点E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
可得，，，，
设平面ABD与平面ABF的一个法向量分别为，，
平面ABD与平面ABF所成角为，而，，
因为，所以，即有，
可得，取，所以；
又，取，所以；
所以，从而，
所以平面ABD与平面ABF所成角的正弦值为. 15分
18.（本小题17分）
【答案】（1） （2）
解：点在椭圆上，即，
解得，，所以椭圆的方程为. 4分
（2）当直线AB斜率存在时，设其方程为，，
联立可得则①
②，③
以AB为直径的圆过原点即
化简可得，代入②③两式，
整理得即
将④式代入①式，得恒成立则
设线段AB中点为M，由，由观察可知，
，
又由，则C点坐标为，
化简可得，代回椭圆方程可得即
即，
另外，当直线AB斜率不存在时，AB方程为，直线CD过AB中点，即为x轴，
易得，，
综上，四边形ACBD面积的最大值为. 17分
19.（本小题17分）
【答案】（1），
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解：（1）∵，
∴当时，；当时，；当时，；当时，，
∴，
∵，
当时，；当时，；当时，；当所时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
∴. 4分
（2）（ⅰ）设中元素的个数为，
∵，，
∴为偶数时，，且，
∴
，
∴中的元素个数为. 9分
（ⅱ）①当时，
；
②当时，
；
③当时，
；
……；
要使得成立，其必要条件是当时，
，
令，则，
∴数列为递增数列，又，，
∴的解为；
当时，，即充分性成立；
∴使得成立的最大正整数. 17分