2024-2025学年江西省景德镇市乐平中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省景德镇市乐平中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，，若点是靠近点的三等分点，则的坐标为( )
A. B. C. D.
3.若动点到定点、的距离之和为，则点的轨迹为( )
A. 椭圆 B. 直线
C. 线段 D. 直线的垂直平分线
4.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，试判断该函数的奇偶性及最大值( )
A. 奇函数，最大值为 B. 偶函数，最大值为
C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为
7.已知圆：，圆：，，分别是圆，的动点，为直线上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为．
当时，为四边形；
当时，与的交点满足；
当时，为六边形；
当时，的面积为．
则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是边长为的正六边形内部一点，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，直线：，则( )
A. 当时，两直线的交点为 B. 直线恒过点
C. 若，则 D. 若，则或
11.已知点、是圆：上的两个动点，点是直线：上的一定点，若的最大值为，则点的坐标可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则______．
13.若平面上两点，，则：上满足的点的个数为______．
14.已知为等腰三角形，其中，点为边上一点，以点、为焦点的椭圆经过点与，则椭圆的离心率的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的焦点分别是、，点、分别为椭圆的长轴端点，点为椭圆的短轴端点，且．
求椭圆的方程；
设点在这个椭圆上，且，求的长．
16.本小题分
过点作直线分别交，的正半轴于，两点．
求面积的最小值及相应的直线的方程；
当取最小值时，求直线的方程．
17.本小题分
如图，是直角梯形底边的中点，，将沿折起形成四棱锥．
求证：平面
若二面角为，求二面角的正切值．
18.本小题分
已知圆：分别与轴、轴交于点，均异于坐标原点，过点作两条直线，，斜率分别为，，且，直线与轴交于点，直线与圆交于，两点．
若，，求直线的方程；
若原点到直线的距离为，求面积的最小值．
19.本小题分
设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素，，，使得，则称为“等差集”．
若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的；
若集合是“等差集”，求的值；
已知正整数，证明：不是“等差集”．
参考答案
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15.解：已知椭圆的焦点分别是、，
则，
又因为，
即，
联立可得，
所以椭圆的方程为；
因为点在这个椭圆上，
所以，
由知，
所以，
又，
联立可得．
16.解：依题意设，，，
设直线的方程为，代入得，
所以，则，当且仅当，即、时取等号，
从而，当且仅当，即、时取等号，
此时直线的方程为，即，
所以，此时直线的方程为；
依题意直线的斜率存在且，设直线：，
令，解得，令，解得，
即，，
则，
当且仅当，即，
即时，取最小值．
此时直线的方程为．
17.证明：在直角梯形中，
因为，且，
故四边形为正方形，
所以，．
在四棱锥中，
又，，平面，
所以平面．
解：由，知为二面角的平面角，
故，
又，
所以为等边三角形．
如图，取的中点，的中点，连接，，，
则，，
又，，
所以，，，，平面，
所以平面，
又平面，因此．
所以为二面角的平面角．
因为平面，
所以平面，
又平面，
所以．
可设，则在等边中求得，
又，
所以在中，可求得，
即二面角的正切值为．

18.解：将代入圆的方程，解得，
所以圆的方程为，即，
所以圆心坐标为，半径．
根据题意得，直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离．
因为，所以，解得舍或，
故直线的方程为．
令，，得，，
所以直线方程为，即．
由原点到直线的距离为，得，结合，解得，
故圆的方程为，圆心坐标为，半径．
根据题意得，的方程为，则的方程为，
则点，所以．
又圆心到的距离为，所以，
所以
，当且仅当时等号成立，
所以面积的最小值为．
19.解：因为集合，，存在个不同的元素，，，使得，
则或或．
因为集合是“等差集”，
所以或或，
计算可得或或或，
又因为正整数，所以．
假设是“等差集”，
则存在，，，，成立，
化简可得，，
因为，，所以，
所以与集合的互异性矛盾，
所以不是“等差集”．
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