余弦定理、正弦定理 课件(共56张PPT)-2025届高三数学一轮复习

(共56张PPT)
高考数学一轮复习
余弦定理、正弦定理
◆ 知识聚焦 ◆
1. 正、余弦定理
在中，内角，，所对的边分别是，，，为 外接圆的半径，则
正弦定理 余弦定理
公 式 ；
；
正弦定理 余弦定理
常 见 变 形 ， ， ； #b# ，， ； #b# ； #b# , , #b# ；
；
续表
2. 在中，已知，和 时，解的情况
为锐角 为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3. 面积公式
；
是的内切圆半径，是 的外接圆半
径，并可由此计算， .
常用结论
1.正弦定理的应用
①边化角，角化边 .
②大边对大角，大角对大边
.
③合分比：
是 的外接圆半径).
2.内角和定理： .
.
同理有：， .
.
③斜三角形中，
.
； .
⑤在中，内角，，成等差数列, .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1. 在中，，，，则 _ ___.
[解析] 在中，设，， ，
则由余弦定理得，
因为为 的内角，所以 .
2. 已知的内角，，的对边分别为，，，若 的
面积为4，， ，则 ___.
8
[解析] 由，得 .
3. 在中，已知， ， ，则边
_ _________.
[解析] ，
由正弦定理，得 ，得 .
4.［教材改编］ 在中，内角，，的对边分别为，，，若 ，
且，则 ___.
[解析] 由余弦定理可得，化简整理得 ，
则，又，所以 .
题组二 常错题
5.在中,若,则,的大小关系为_________;若,则 ,
的大小关系为_________.
[解析] 根据正弦定理知,在中， ,
.
6.在中，内角，，的对边分别为，，，已知 ， ，
，则 ______________.
或
[解析] 由正弦定理得，
因为， ，所以 或 .
7.在中,内角,,所对的边分别为,,,若,, ,则
_ ____, ___.
1
[解析] .
由余弦定理得,所以 .
探究点一 利用余弦定理、正弦定理解基本量问题
例1 在中，内角,,所对的边分别为,, ，且
，， ．
（1） 求 的面积；
解：因为在中，， ，
所以 ，
故的面积为 .
［思路点拨］先算出 ，然后直接由三角形的面积公式求解即可;
（2） 求及 的值．
解： 在中，，， ，
所以由余弦定理得 ，
又，所以.
由（1）可知，所以由正弦定理得 ，
即，解得 .
［思路点拨］先由余弦定理求出，然后由正弦定理求解 即可.
变式题1（1） [2023·全国乙卷] 在中，内角，，的对边分别是, ,
,若,且,则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 方法一：因为 ，
所以由正弦定理得，即，
所以 或 （舍）.
因为， ，所以.所以 .故选C.
方法二：由余弦定理得，整理得 ，
所以为直角三角形，且，又，所以 .故选C.
（2） [2023·北京卷] 在中， ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以由正弦定理得，即，
则 ，故，
又 ，所以 .故选B.
（3） 记的内角，，的对边分别为，，，面积为 ，
，，则 ______.
[解析] , ,
根据余弦定理得, .
变式题2 [2023·天津卷] 在中，角，，所对的边分别是,, .已知
,, .
（1） 求 的值；
解：因为 ,所以，都为锐角，且 .
由正弦定理得,所以,解得 .
（2） 求 的值；
解： 由余弦定理得,所以 ,
整理得,解得或（舍），所以 .
（3） 求 .
解： 方法一：因为，为锐角，所以 ,
所以
.
方法二：因为,为锐角，所以.
由正弦定理得 ,所以,解得,
又为锐角，所以 ,
所以 .
探究点二 利用余弦定理、正弦定理判定三角形的形状
例2（1） 在中,若,则 是( )
B
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形
[解析] , ，
,， ,， .故选B.
［思路点拨］根据正弦定理可得，整理可得 ，
又由，可得 ，即可得解.
（2） 在中，已知，且 ，则该三角
形的形状是( )
C
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
[解析] ，，又， .
由，得，，即 ，
又， 该三角形为等边三角形.
［思路点拨］首先利用余弦定理求出角 ，再利用正弦定理与余弦定理将
化简得到， 的关系，进而判断出三角形形状.
变式题（1） （多选题）已知的内角，，所对的边分别为，， ，
则下列说法中正确的有( )
ACD
A.若，则 一定是等边三角形
B.若，则 一定是等腰三角形
C.若，则 一定是等腰三角形
D.若，则 一定是钝角三角形
[解析] 对于A，若，则由正弦定理得 ，
即，则，所以 一定是等边三角形，故A正确；
对于B，若，则由正弦定理得 ，
即，则或 ，即或 ，
所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若 ，则由正弦定理得，
所以 ，即，所以一定是等腰三角形，故C正确；
对于D，在 中，因为，且，
所以,所以角 为钝角，所以一定是钝角三角形，故D正确.故选 .
（2） 在中，内角，，所对的边分别是，， ，若
，则 的形状为( )
D
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
[解析] 因为 ，
所以由正弦定理得，
又 ，
所以 ，
所以，所以或，
所以或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形.
探究点三 正余弦定理在几何中的应用
微点1 最值、范围问题
例3 在锐角三角形中，内角,,的对边分别为，， ，从①
，② 这两个条件中选择一个作为已知条
件.
（1） 求角 的大小；
［思路点拨］选条件①，由已知等式得，根据正切函数值得角 的大小；
选条件②，由已知等式结合正弦定理与三角恒等变换，化简得 ，进而可
得角 的大小.
解：选条件①：因为，所以 ，
所以，又因为，所以，所以 ，
所以 .
选条件②：因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即，
又因为 ，所以.因为，所以 .
（2） 若，求 的周长的取值范围.
［思路点拨］根据正弦定理，结合三角恒等变换将三角形的周长转化为正弦型三
角函数，利用正弦型三角函数的性质求 周长的取值范围即可.
解： 由正弦定理得，
则 ,，又 ,，所以，
又 为锐角三角形，所以，，则 ，
所以
，
因为，所以，则 ，
所以，即的周长的取值范围为
[总结反思]
破解此类问题的关键:一是观察已知三角恒等式,判断是边往角化还是角往边化,从
而利用正弦定理或余弦定理进行转化;二是把所求的取值范围或最值问题转化为三
角函数问题,利用三角函数的单调性进行求解,或利用基本不等式、三角函数的有
界性进行求解.
解：方法一：在中，因为为的中点，， ，
所以 ，
解得.
在中， ，
由余弦定理得，
即 ，可得，则 ，
，所以 .
方法二：在中，因为为的中点，， ，
所以 ，
解得 .
在中，由余弦定理得 ，
即，可得，则 ，
则，，过作于，
于是 ,，则，所以 .
（2） 若，求, .
解： 方法一：在与 中，
由余弦定理得整理得 ，
又，所以 ，
又，所以，
而 ，于是，所以 .
［思路点拨］思路一：利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式求出 ，
即可求解,；思路二：由已知利用向量相关计算建立关系求出 ，再利用三角形
的面积公式求出，即可求解, .
方法二：在中，因为为的中点，所以 ，
又 ，
所以，
即 ，可得，
又，
所以 ，而 ，于是，
所以 .
1.【微点1、微点2】在中，内角，，的对边分别为，， ，已知
，若内角的平分线（在 边上）
的长为2，则 的最小值为( )
D
A.10 B.12 C.16 D.18
[解析] ， ，
即，则，又 ,.
平分内角，.
由 ，得，
即，即 ，
，
当且仅当时等号成立，即 的最小值为18.故选D.
2.【微点2】[2023·安徽蚌埠质检] 在中，为上一点，且 ，
，，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 方法一：在和中，有, ,
故.设，则，又,所以.
设 ,则由得，
又 ，所以由余弦定理可得,
整理得，则 ，
所以，故 .
方法二：设，则 .
在和中,有 ，
由正弦定理有 ，，
两式相除整理得 ，
则，所以 ，
即，解得或.
因为在 中，，所以，故 ，故选D.
3.【微点1】[2022·新高考全国Ⅰ卷] 记的内角，，的对边分别为,, ,
已知 .
（1） 若,求 ；
解：由已知条件得 ，
则
，
所以，所以 .
由题知，所以，所以 ,
所以,可得 .
（2） 求 的最小值.
解： 由（1）知，则 ，
则 .
由正弦定理得
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为 .
4.【微点2】[2023·福建泉州七中模拟] 如图所示，在四边形
中，，， ，从条件①，条件
②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题.
（1） 求 的长；
解:选条件①：由余弦定理得 ，
解得 .
选条件②：在 中，
由余弦定理得，
在 中，由余弦定理得，
因为 ，所以，
即，可得 .
（2） 求四边形 的面积.
条件①： ；
条件②： .
解: 选条件①：， ，
故 .
在中，，所以 ，
故 ，所以四边形的面积为 .
选条件②：，则，故 .
因为 ，所以 ，
则 ，
，
故四边形 的面积为 .
提升习题
1 ［配例1使用］ 在； 这两
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角,,所对的边分别为,, ，________.
（1） 求 的值；
解：若选①，由得 ，
由正弦定理得，又，所以，
所以 ，又，,所以 .
若选②，由已知及正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ,
所以,又，所以，所以 ，
又，,,所以 .
（2） 若的面积为2，，求 的周长.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解： 由的面积为2，得，所以 ，
由（1）可得，
由余弦定理得 ，所以，
所以，
所以 的周长为 .
2 ［配例2使用］的三个内角,,满足 ，且
，则这个三角形的形状是( )
B
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
[解析] 因为 ，，所以.
因为 ，所以由正弦定理得，
又由余弦定理得 ，所以，
整理得，所以，所以 是等边三角形.故选B.
例3 ［配例3使用］ [2023·山东枣庄三模] 已知的内角，， 的对边
分别为，，，且 .
（1） 求 ；
解：由余弦定理知 ，
则 ，
所以，所以 ，
则，又因为，所以 ，
整理得 ，又，所以 .
（2） 求 的最小值.
解： 由（1）知，所以 ，
所以，当且仅当时等号成立，
所以 的最小值为 .
4 ［配例4使用］ 如图，在平面四边形 中，
, ,
, .
（1） 求 ；
解：由 ，
根据正弦定理得 ,
,，即 ,
即 ,
又 , , ,即 .
（2） 若，求 的面积.
解： 设 ， 四边形的内角和为 ， .
在中，由正弦定理得，即 .
在中，，即,
又 ，,则,即,
即 .
, , , ,即 ,
则 ,
.
, .