2024-2025学年河南省“天壹大联考”高二上期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省“天壹大联考”高二上期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则的方程为( )
A. B. C. D.
2.椭圆与，且的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等
3.已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为，且一个焦点的坐标为，则的方程为( )
A. B. C. D.
4.在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则( )
A. B. C. D.
5.若直线与圆相离，则点( )
A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 位置不确定
6.设为椭圆上一动点，，分别为椭圆的左、右焦点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心若的最大值为，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，为底面内的一个动点包括边界，底面，底面，且，则的最小值与最大值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程，则( )
A. 当时，方程表示椭圆
B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
C. 存在，使得方程表示两条直线
D. 存在，使得方程表示抛物线
10.已知直线的方程为，，，则下列结论正确的是( )
A. 点不可能在直线上
B. 直线恒过点
C. 若点，到直线的距离相等，则
D. 直线上恒存在点，满足
11.如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则( )
A. 存在，，使得
B. 不存在点，使得
C. 的最小值为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为 ．
13.若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是 ．
14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和如图为椭圆及其蒙日圆，的离心率为，点，，，分别为蒙日圆与坐标轴的交点，，，，分别与相切于点，，，，则四边形与四边形的面积的比值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点．
Ⅰ求圆的方程
Ⅱ若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，，为的中点．
Ⅰ证明：
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为，．
Ⅰ求的方程
Ⅱ过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为，求的方程．
18.本小题分
如图，在斜三棱柱中，平面平面，是边长为的等边三角形，，为的中点，且，为的中点，为的中点，．
Ⅰ设向量为平面的法向量，证明：
Ⅱ求点到平面的距离
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别是，，是的右支上一点，的中点为，且为坐标原点，是的右顶点，，是上两点均与点不重合．
Ⅰ求的方程
Ⅱ若，不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值
Ⅲ若，不关于轴对称，且，证明：直线过定点．
参考答案
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15.解：联立直线和直线，解得其交点为，
故圆的圆心坐标为，
因为点在圆上，由，可知圆的半径为，
所以圆的方程为
由圆的方程为可知圆的圆心为，半径为，
因为，
所以两圆相交．
16.Ⅰ证明：由，，，，
可得，，
则，，
又，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
Ⅱ解：以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
取，可得，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：是上一点，，
．
由抛物线的定义可知，
，
，
的方程为．
Ⅱ由，
令直线为，且，
联立直线与抛物线，有，
令点的坐标为，
有，解得，
故，
点到直线的距离为，
所以的面积为，
解得，所以直线的方程为．
18.Ⅰ证明：连接，
因为，为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，
所以，，
因为为等边三角形，所以，
则、、两两垂直，
以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，，
由，可得，
由为的中点，，可得，，
则，
可知，而，，
则．
Ⅱ解：，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，，
则点得到平面的距离为．
Ⅲ解：，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，即，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：Ⅰ因为为的中点，为中点，
所以，
所以，即，
又，则，所以，
所以双曲线的标准方程为
Ⅱ设，
因为，不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，
则
两式相减可得，
即，
所以直线与直线的斜率之积为定值
Ⅲ若，不关于轴对称，设直线的方程为，
联立，消去得，
由题意，，，
因为，，且，
所以
，
化简得，解得，或，
当时，直线为恒过与点重合，不合题意，
当时，直线为恒过，
所以直线过定点．
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